Question

我有一个不等于零的自然数。我想证明，如果它等于零，那么它就为假。

Lemma notzero : 
  forall n, 
    n <> 0 ->
    n =? 0 = false.
Proof.
  intro n. inversion H.

Answer 1

我发现，如果您使用布尔反射，则从长远来看，这些证明更易于维护，而不是在每个证明中都使用反转。库中有许多有用的引理供您使用，它们通常被称为“ reflect”，“ decide”，“ dec”或“ spec”，如规范中所述，因此您可以搜索与<相关的引理与Search (_ < _) "spec".

同时设计反射引理是：1）在证明上下文中破坏布尔项，以及2）在上下文中添加相应的Prop，以便于使用lia ，omega等来完成证明。

根据您的情况，您可以使用Nat.eq_spec（来自Require Import PeanoNat.）。

destruct (Nat.eq_spec n 0).

它将创建两个分支，其中一个n ?= 0被true替换，并且n=0被添加到上下文，而另一个n =? 0被{{ 1}}和false被添加到上下文中。现在，完成证明非常容易，因为第一个目标的上下文包含矛盾n<>0和n=0，第二个目标是n<>0。您可以使用自动化战术false=false，因此完整的证明是

now

如果您想使用整数now destruct (Nat.eq_spec n 0).，则证明将变为Z。因为now destruct (Z.eq_spec n 0).模块具有许多具有匹配名称的对应词条。

Answer 2

通常，您可以使用=?反映自然数（Nat.eqb_spec）相等的事实。您是否故意使用两个平等概念？请注意，n <> 0是n = 0 -> False的表示法。

Lemma notzero : 
  forall n, 
    n <> 0 ->
    n =? 0 = false.
Proof.
  intros n h. destruct (Nat.eqb_spec n 0).
  - exfalso. apply h. assumption.
  - reflexivity.
Qed.

也有可能仅对n进行分析。如果为0，则可以使用假设进行结论；如果为S m，则可以由reflexivity证明目标。

Lemma notzero : 
  forall n, 
    n <> 0 ->
    n =? 0 = false.
Proof.
  intros n h. destruct n.
  - contradiction.
  - reflexivity.
Qed.

自然数零检验的矛盾

2 个答案: