Question

为了测试一个数字是否为素数，为什么我们必须测试它是否只能被该数字的平方根整除？

Answer 1

如果数字n不是素数，则可以将其考虑为两个因素a和b：

n = a * b

如果a和b都大于n的平方根，那么a * b将大于n。因此，这些因素中至少有一个必须小于或等于n的平方根，如果我们找不到小于或等于平方根的任何因子，n必须是素数

Answer 2

我们说m = sqrt(n)然后m × m = n。现在，如果n不是素数，则n可以写为n = a × b，因此m × m = a × b。请注意，m是实数，而n，a和b是自然数。

现在可能有3个案例：

a＆gt; m⇒b＆lt;米
a =m⇒b= m
a＆lt; m⇒b＆gt;米

在所有3个案例中，min(a, b) ≤ m。因此，如果我们搜索到m，我们必定会找到至少一个n的因子，这足以表明n不是素数。

Answer 3

因为如果一个因子大于n的平方根，那么与它相乘的另一个因子必然小于n的平方根。

Answer 4

更直观的解释是： -

100的平方根是10.对于各种a和b对，我们说x b = 100。

如果a == b，那么它们是相等的，并且是100的平方根。这是10。

如果其中一个小于10，则另一个必须更大。例如，5 x 20 == 100.一个大于10，另一个小于10.

考虑x b，如果其中一个发生故障，另一个必须变得更大以便进行补偿，因此产品保持在100个。它们围绕平方根旋转。

101的平方根约为10.049875621。因此，如果您要测试数字101的素数，您只需要尝试整数达到10，包括10.但是8,9和10本身不是素数，所以你只需要测试7，这是最好的。

因为如果有一对因子中的一个大于10，那么该对中的另一个必须小于10.如果较小的一个不存在，则没有匹配的更大因子为101。

如果您正在测试121，则平方根为11.您必须测试1到11（包括）的素数整数，以查看它是否均匀进入。 11进11次，所以121不是素数。如果你已经停在10点，而没有经过测试11，你就错过了11。

假设您只测试奇数，则必须测试大于2但小于或等于平方根的每个素数。

`

Answer 5

假设n不是素数（大于1）。所以有a和b这样的数字

n = ab      (1 < a <= b < n)

通过将a<=b与a和b相乘，得到：

a^2 <= ab
 ab <= b^2

因此:(请注意n=ab）

a^2 <= n <= b^2

因此:(注意a和b是正面的）

a <= sqrt(n) <= b

因此，如果一个数字（大于1）不是素数且我们测试的可达性达到数字的平方根，我们将找到其中一个因素。

Answer 6

假设给定的整数N不是素数，

然后N可以分解为两个因子a和b，2 <= a, b < N，使得N = a*b。显然，它们都不能同时大于sqrt(N)。

让我们假设a更小而不失一般性。

现在，如果您找不到属于N范围内[2, sqrt(N)]的任何除数，那是什么意思？

这意味着N [2, a]中的a <= sqrt(N)没有任何除数a = 1。

因此，b = n和N因此根据定义，(a, b)为素数。

...

如果您不满意，请进一步阅读：

1<= i <=k的许多不同组合都是可能的。我们说它们是：

（a ₁，b ₁），（a ₂，b ₂），（a < sub> 3 ，b ₃），.....，（a _k，b _k）。在不失一般性的情况下，假设_i＆lt; b _i，N。

现在，为了能够证明sqrt(N)不是素数，足以证明_i都不能进一步分解。而且我们也知道_i＆lt; = sqrt(N)因此您需要检查直到N，这将覆盖所有_i。因此，您将能够得出$black是否为素数的结论。

...

Answer 7

这些只是分解和平方根的基本用法。

它可能看似抽象，但实际上它只是因为非素数的最大可能因子必须是它的平方根，因为：

sqrroot(n) * sqrroot(n) = n

鉴于此，如果 1 以上或 sqrroot(n) 以上的任何整数均匀分配到 {{1} } ，然后 n 不能是素数。

伪代码示例：

Answer 8

所以要检查数字N是否为Prime。我们只需要检查N是否可以被数字＆lt; = SQROOT（N）整除。这是因为，如果我们将N分解为任何2个因子，比如X和Y，即。 N = X ÿ。 X和Y中的每一个都不能小于SQROOT（N），因为那时，X Y＆lt; ñ X和Y中的每一个都不能大于SQROOT（N），因为那样，X * Y> N

因此，一个因子必须小于或等于SQROOT（N）（而另一个因子大于或等于SQROOT（N））。因此，要检查N是否为Prime，我们只需检查那些数字＆lt; = SQROOT（N）。

Answer 9

假设我们有一个数字“a”，它不是素数[不是素数/复合数字意味着 - 一个数字可以用1或其自身以外的数字均分。例如，6可以均匀地分为2或3，以及1或6]。

6 = 1×6或6 = 2×3

所以现在如果“a”不是素数那么它可以除以另外两个数字，让我们说这些数字是“b”和“c”。这意味着

α= B * C

现在如果“b”或“c”，它们中的任何一个都大于“a”的平方根而不是“b”和“b”的乘积。 “c”将大于“a”。

所以，“b”＆amp; “c”总是＆lt; =“a”的平方根来证明方程“a = b * c”。

由于上述原因，当我们测试一个数字是否为素数时，我们只检查该数字的平方根。

Answer 10

让n为非素数。因此，它至少有两个大于1的整数因子。令f是n个这样的因子中最小的。假设f> sqrt n。那么n / f是整数LTE sqrt n，因此小于f。因此，f不能是n的最小因子。 Reductio ad absurdum; n的最小因子必须是LTE sqrt n。

Answer 11

给出任意数字n，然后找到其因子的一种方法是求平方根p：

sqrt(n) = p

当然，如果我们将p自身相乘，那么我们将得到n：

p*p = n

它可以重写为：

a*b = n

p = a = b所在的位置。如果a增加，则b减少以维持a*b = n。因此，p是上限。

Answer 12

是的，正如上面正确解释的那样，迭代到一个数的平方根的 Math.floor 来检查它的素性就足够了（因为 sqrt 涵盖了所有可能的除法情况；而 Math.floor ，因为任何高于 sqrt 的整数都将超出其范围）。

这是一个可运行的 JavaScript 代码片段，它代表了这种方法的一个简单实现——它的“运行时友好性”足以处理相当大的数字（我尝试检查质数和非质数高达 10**12（即 1 万亿）的数字与 online database of prime numbers 的结果进行了比较，即使在我的廉价手机上也没有遇到错误或滞后）：

function isPrime(num) {
  if (num % 2 === 0 || num < 3 || !Number.isSafeInteger(num)) {
    return num === 2;
  } else {
    const sqrt = Math.floor(Math.sqrt(num));
    for (let i = 3; i <= sqrt; i += 2) {
      if (num % i === 0) return false;
    }
    return true;
  }
}

<label for="inp">Enter a number and click "Check!":</label><br>
<input type="number" id="inp"></input>
<button onclick="alert(isPrime(+document.getElementById('inp').value) ? 'Prime' : 'Not prime')" type="button">Check!</button>

Answer 13

要测试一个数字 n 的素数，人们会期望一个循环，例如首先跟随：

bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
    if(n%i == 0){
        isPrime = false;
        break;
    }
}

上述循环的作用是：对于给定的 1＆lt;我＆lt; n ，它检查n / i是否为整数（留下余数为0）。如果存在i，其中n / i是整数，那么我们可以确定n不是素数，此时循环终止。如果对于no i，n / i是整数，那么n是素数。

与每种算法一样，我们会问：我们可以做得更好吗？

让我们看看上面的循环中发生了什么。

i的序列：i = 2,3,4，...，n-1

整数检查的顺序为：j = n / i，即n / 2，n / 3，n / 4，...，n /（n-1）

如果某些i = a，则n / a是整数，那么n / a = k（整数）

或n = ak，显然n> k> 1（如果k = 1，则a = n，但我永远不会达到n;如果k = n，则a = 1，但我从表格2开始）

此外，n / k = a，并且如上所述，a是i的值，因此n> 1。 a＆gt; 1.

因此，a和k都是1和n之间的整数（不包括）。因为，我到达该范围内的每个整数，在某个迭代i = a，并且在某个其他迭代i = k。如果n的素数测试对于min（a，k）失败，则对于max（a，k）也将失败。所以我们只需要检查这两种情况中的一种，除非min（a，k）= max（a，k）（其中两个检查减少到一个），即a = k，此时a * a = n，暗示a = sqrt（n）。

换句话说，如果对于某些i＆gt; = sqrt（n）（即max（a，k）），n的素性测试失败，那么对于某些i＆lt; = n（也将失败）即，min（a，k））。因此，如果我们运行i = 2到sqrt（n）的测试就足够了。

Answer 14

任何复合数字都是质数的产物。

假设n = p1 * p2，其中p2 > p1是质数。

如果n % p1 === 0，则 n 是一个复合数字。

如果n % p2 === 0，也猜猜n % p1 === 0是什么！

因此，n % p2 === 0不能同时为n % p1 !== 0。换句话说，如果复合数 n 可以除以 p2，p3 ... pi （更大的因子）也必须除以它的最低因子 p1 。事实证明，最低因素p1 <= Math.square(n)始终为真。

Answer 15

def print_hi(n):
if(n == 1 ):
    return False;
if( n == 2 or n == 3):
    return True;
if(n % 2 == 0 or n % 3 == 0):
    return  False;

for i in range (5,n,6):
    if( i * i <= n):
        if(n % i == 0 or n % (i+2) == 0):
            return False
        return True


if __name__ == '__main__':
  x = print_hi(1032)
  print(x)

为什么我们检查素数的平方根以确定它是否是素数？

15 个答案: