为什么检查二叉树O（n log n）平衡的函数的时间复杂度为何？

Question

盖尔·拉克曼·麦克道威尔（Gayle Laakmann McDowell）提出的破解编码面试的提示：

实现一个功能来检查二叉树是否平衡。 对于此问题，定义了一个平衡树，使得高度 任何节点的两个子树中的一个的相差不超过一个。

（以下示例实现。）

问题：您能帮助我理解为什么作者指出isBalanced有一个 O(n log n)的时间复杂度？我在某种程度上可以记住它，但是可以记住，但是我无法概念化为什么像O(n^2)这样的其他时间复杂性，为什么会出现这种情况。

int getHeight(TreeNode root) {
  if (root == null) { return -1; }
  return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1;
}

boolean isBalanced(TreeNode root) {
  if (root == null) { return true; }

  int heightDiff = getHeight(root.left) - getHeight(root.right);
  if (Maths.abs(heightDiff) > 1) {
    return false;
  } else {
    return isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
  }
}

// isBalanced([some node]) --> true/false

我如何可视化为什么将isBalanced视为O(n log n)？

Answer 1

假设您有BST

      4        // No of nodes 1
    /    \
   2      6    // No of nodes 2
 /  \    /  \
1    3  5    7 // No of nodes 4

您的函数isBalanced将遍历所有节点，包括没有子节点的节点，并调用getHeight以计算左右子节点的高度。

该函数的递归关系为

这是从“主定理”中得出的

a =递归子问题的数量

n/b =每个子问题的大小

f(n) =必须在递归调用之外完成的工作成本

a是2，因为我们必须访问每个父节点的两个子节点

b是2，因为如果您注意到每次到达（从底部）上方的水平，节点数都会减少一半。

f(n)是n，因为我们必须在每个节点上调用getHeight()

满足主定理的第二种情况

输入值以证明f(n) = O(n^logb(a))

因此，我们得到了O(n log n)的时间复杂度