通过一组点找到最宽的空直路径

Question

我正在创建一个简单的游戏，并在为我的游戏设计AI时遇到这个问题： 给定笛卡尔坐标中矩形内的一组N个点，我需要找到通过该矩形的最宽直线路径。路径必须为空（即不包含任何点）。

我想知道是否有任何有效的算法来解决这个问题？你能否提出任何关于这个问题的关键词/论文/任何内容？

编辑：矩形始终由角落中的4个点定义。我添加了一张图片用于说明。上图中的路径由两条红线决定

Answer 1

这是最宽的空走廊问题。 Houle和Maciel在1988年的一份题为“通过一组点找到最宽的空走廊”的技术报告中给出了O（n ² ） - 时间，O（n） - 空间算法，这似乎不是可在线获取。幸运的是，Janardan和Preparata在他们的论文Widest-corridor problems的第4节中描述了这个算法，该算法可用。

Answer 2

遍历所有点对。通过该对构造一条 l 行。 （^ 1）在 l 的每一边，是否还有其他点。如果没有，则 l 的那一侧没有路径。如果有其他点，则循环计算从 l 到每个这样的点的垂直距离 d 。记录最小 d 。这是 l 那边最宽的路径。继续循环遍历所有对，将该对的最宽路径与先前最宽的路径进行比较。

这个算法可以被认为是幼稚的，可以在O(n^3)时间内运行。

编辑：上述算法错过了一个案例。在上面的^ 1处，插入：“通过该对的每个点构造垂直于 l 的两条线。如果线之间没有第三个点，则记录距离 d 要点。这构成了一条道路。“在^ 1处继续算法。对于其他情况，算法仍为O(n^3)

Answer 3

我自己，我会先看看点集的Delaunay三角剖分： http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

似乎有足够的资源来建立有效的算法 - 财富的算法，在O（n log n），对于初学者。

我的直觉告诉我，你最宽的路径将由该图中的一条边定义（即，它将垂直于边缘，其宽度将等于边的长度）。如何对边缘进行排序，检查候选者并确定最宽的路径。我喜欢这个问题，我会继续思考它。 ：）

编辑1：我的直觉让我失望！简单的等边三角形是一个反例：最宽的路径比三角测量中的任何边缘都短。还在想......

编辑2：所以，我们需要一个黑盒算法，给定集合中的两个点，找到通过这两个点限定的点集的最宽路径。 （可视化两条贯穿两点的平行线;相互协调旋转直到它们之间没有点）。我们将此算法的运行时调用为“R”。

鉴于这样的算法，我们可以做到以下几点：

1. 构建点集的Delaunay三角剖分：O（n log n）
2. 按宽度对边缘进行排序：O（n log n）
3. 从最大边开始向下移动，使用黑盒算法确定涉及这两点的最宽路径;将其存储为X：O（nR））
4. 当被检查的边缘短于X的宽度时停止。

步骤1和2很不错，但O（nR）有点可怕。如果R结果是O（n），则整个算法已经是O（n ^ 2）。好的一点是，对于一组通用的随机点，我们希望我们不必经历所有的边缘。