使用scipy.optimize.curve_fit进行指数拟合而没有很好的猜测

Question

我想找到一个描述以下数据的模型。

x = array([50000.,  100000.,  150000.,  200000.,  250000.,  300000.,
    350000.,  400000.,  450000.,  500000.,  550000.,  600000.,
    650000.,  700000.,  750000.,  800000.,  850000.,  900000.,
    950000., 1000000.])
y = array([1.87792730e-06, 3.81015841e-07, 1.89900422e-07, 1.21302069e-07,
   8.39703240e-08, 6.18937868e-08, 4.98975718e-08, 3.97720839e-08,
   3.23420144e-08, 2.79493666e-08, 2.35548293e-08, 2.01505953e-08,
   1.81079429e-08, 1.59391671e-08, 1.37227044e-08, 1.30031234e-08,
   1.19076952e-08, 1.10967303e-08, 9.43339053e-09, 8.98627485e-09])

查看数据点的分布，可以预期数据遵循指数函数。因此，我尝试按照以下方式使用scipy.optimize.curve_fit。

from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt 

def f(x, a, b, c): 
    return a*np.exp(b*x)+c

curve_fit(f, x, y, p0=[np.min(y), -1, np.min(y)])

这没有给我a，b和c的任何合理值。我尝试使用多个p0设置，但pcov矩阵始终仅由inf组成。

如果您有数据但对这种情况的参数没有很好的猜测，那么如何才能实现合理的拟合呢？

Answer 1

有一种简单的方法（无需初步猜测，无需迭代演算），其原理已在论文中进行了解释：https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales

由于积分方程，非线性回归转换为线性回归。下面显示了对您的问题和数值演算的应用。

请注意，拟合标准（最小均方）不是相对于给定数据，而是相对于具有积分数值演算的变换数据（以下标记为S）。因此，如果结果的准确性不够，则必须进行非线性回归。开始迭代过程的初始值可以是已经找到的，离目标不远的值。

所以，我认为这回答了您有关寻找初始猜测的问题。

数值示例：

注意：对于高的Y值，结果非常好。但是对于最小的Y值，结果并不准确。根据拟合标准，可能需要进行非线性回归后处理。

注意：在您的数据示例中，演算涉及非常高和非常低的指数。建议对原始数据应用方便的因子，以便按通常的数量级进行查找。上面的微积分示例并未做到这一点，以使其易于理解。

有关信息：

允许线性回归的积分方程为：

Answer 2

这是一个图形化的Python拟合器，使用的方程式与对已发布数据的方程式搜索不同，使用所有1.0的scipy默认初始参数估计值似乎都非常合适。

import numpy, scipy, matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

xData = numpy.array([50000.0, 100000.0, 150000.0, 200000.0, 250000.0, 300000.0, 350000.0, 400000.0, 450000.0, 500000.0, 550000.0, 600000.0, 650000.0, 700000.0, 750000.0, 800000.0, 850000.0, 900000.0, 950000.0, 1000000.0])
yData = numpy.array([1.8779273e-06, 3.81015841e-07, 1.89900422e-07, 1.21302069e-07, 8.3970324e-08, 6.18937868e-08, 4.98975718e-08, 3.97720839e-08, 3.23420144e-08, 2.79493666e-08, 2.35548293e-08, 2.01505953e-08, 1.81079429e-08, 1.59391671e-08, 1.37227044e-08, 1.30031234e-08, 1.19076952e-08, 1.10967303e-08, 9.43339053e-09, 8.98627485e-09])


def func(x, a, b, c): # from zunzun.com equation search
    return a / (b+numpy.power(x, c))


# these are the same as the scipy defaults
initialParameters = numpy.array([1.0, 1.0, 1.0])

# curve fit the test data
fittedParameters, pcov = curve_fit(func, xData, yData, initialParameters)

modelPredictions = func(xData, *fittedParameters) 

absError = modelPredictions - yData

SE = numpy.square(absError) # squared errors
MSE = numpy.mean(SE) # mean squared errors
RMSE = numpy.sqrt(MSE) # Root Mean Squared Error, RMSE
Rsquared = 1.0 - (numpy.var(absError) / numpy.var(yData))

print('Parameters:', fittedParameters)
print('RMSE:', RMSE)
print('R-squared:', Rsquared)

print()


##########################################################
# graphics output section
def ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight):
    f = plt.figure(figsize=(graphWidth/100.0, graphHeight/100.0), dpi=100)
    axes = f.add_subplot(111)

    # first the raw data as a scatter plot
    axes.plot(xData, yData,  'D')

    # create data for the fitted equation plot
    xModel = numpy.linspace(min(xData), max(xData))
    yModel = func(xModel, *fittedParameters)

    # now the model as a line plot
    axes.plot(xModel, yModel)

    axes.set_xlabel('X Data') # X axis data label
    axes.set_ylabel('Y Data') # Y axis data label

    plt.show()
    plt.close('all') # clean up after using pyplot

graphWidth = 800
graphHeight = 600
ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight)