Question

我有一些代码应该通过泰勒级数定义找到 sin(15°) 的近似值，并将其与内置函数sin进行比较。

我有不同的结果。

X-弧度值
R-系列和的当前值
Eps-准确性值
S-签名
F-N的阶乘值
XN-X的值乘以N的幂
N-功率1,3,5 ...

% base
sin_taylor(_,R,Eps,S,FN,XN,_) :-
    abs(S*XN/FN) < Eps,
    R = 0, !.

% step
sin_taylor(X, R, Eps, S, FN, XN, N) :-
    S1 = S*(-1),
    N1 = N+1,
    FN1 = FN*(2*N+2)*(2*N+3),
    XN1 = XN*X*X,
    sin_taylor(X,R1,Eps,S1,FN1,XN1,N1),
    R is R1+S*XN/FN.

% auxiliary predicate to supply parameters to the main one
sin(X,R,Eps) :-
    sin_taylor(X,R1,Eps,-1,1,X*X,1),
    R is 1+R1.

控制台中的结果

?- X is 15*(pi / 180), sin(X,R,0.0001).
   X = 0.2617993877991494,
   R = 0.931695959721973.

?- X is 15*(pi / 180), R0 is sin(X).
   X = 0.2617993877991494,
   R0 = 0.25881904510252074.

Answer 1

无法在您的代码中识别正确的n项...阶乘计算隐藏在哪里？请记住，早期的优化是软件工程中所有弊端的根源：）

Wikipedia中列出的解决方案的直接翻译使我想到了这段代码（嗯，应该在谓词名称中引用Maclaurin 和 Taylor ...）

class C extends ReactComponent {

   constructor() {
      var handleMerging = handleMerging.bind(this);

      handleMerging().then(...);
   }
}

给出合理的结果：

:- module(sin_taylor,
          [sin/3
          ,rad_deg/2
          ,fact/2
          ]).

% help predicate to give parameters to the main one
sin(X,R,Eps):-
    syn_taylor(X,Eps,0,R).

syn_taylor(X,Eps,N,R) :-
    S is -1**N,
    T is 2*N+1,
    fact(T,D),
    E is X**T,
    Q is S*E/D,
    (   Q < Eps
    ->  R = Q
    ;   M is N+1,
        syn_taylor(X,Eps,M,R1),
        R is Q+R1
    ).

rad_deg(R,D) :-
    var(R) -> R is D*(pi / 180).
    % tbd compute D from R

fact(N,F) :- N>0 -> N1 is N-1, fact(N1,F1), F is N*F1 ; F=1.

Answer 2

如果从最小的求和数开始，然后使用霍纳模式，则可获得更好的结果，并且数值误差更少。但是问题是，如何找出哪个索引MainWindow应该给您最小的求和数k？

对于a_k，被乘数为sin/1。

对于a_n = (-1)ⁿ * x^(2*n+1) / (2n+1)!，其中x = u * 10^(-v)是u的尾数，而x是v的负指数，我们看到：

x

因此，如果我们想要|a_n| < |x^(2*n+1)| = 10^{((log10(|u|) - v) * (2*n+1))}位数字，我们可以尝试以最小的方式增加索引

p

如果我们已经有k = ceiling(p / (2 * (log10(|u|) - v)))的问题，这将是最好的选择。最小的求和索引|x| =< 1/2在这里计算：

谓词mp_sin(X, P, Y) :- K is integer(ceiling(requested(P)/(2*dec_log10(X)))), init_sin(K, X, P, U), mp_sin(U, X, P, Y).和init_sin/4然后从最小的被加数到最大的被加数mp_sin/4向后计算正弦值，并使用Horner模式同时获得和：

a₀

内部谓词mp_sin((0, S), _, _, S) :- !. mp_sin(U, X, P, Y) :- next_sin(U, X, P, V), mp_sin(V, X, P, Y). init_sin(K, X, P, (K, S)) :- (K mod 2 =:= 0 -> V = X; V = -X), mp_math(V/(2*K+1), P, S). next_sin((L, T), X, P, (K, S)) :- K is L-1, (K mod 2 =:= 0 -> V = X; V = -X), mp_math((T*X*X/(2*K+2)+V)/(2*K+1), P, S).在这里用于BigDecimal算术，因此我们还可以以mp_math/3的精度来计算sin/1，这对于常规浮点数是不可能的。结果如下：

p = 100

由于所有computations均以给定的精度完成，因此当您使用Horner模式进行向后计算时，只需要很少的位。更少的数字错误意味着您可以使用更少的位来驱动计算。但是，您仍然需要一点额外的精度。

要获得Jekejeke Prolog 4, Runtime Library 1.4.1 (20 August 2019) ?- use_module(library(decimal/multi)). % 7 consults and 0 unloads in 222 ms. Yes ?- X is mp(15*(pi/180),5), R is mp(sin(X),5). X = 0d0.26181, R = 0d0.25883 ?- X is mp(15*(pi/180),102), R is mp(sin(X),102). X = 0d0.2617993877991494365385536152 732919070164307832812588184145787160 256513671905174165523362354451764223 32, R = 0d0.2588190451025207623488988376 240483283490689013199305138140032073 150569747488019969223679746942496655 21的结果，我正在使用p = 4，并且得到了p = 5的结果，我正在使用p = 100。尚未有时间找到这种额外精度的启发式方法，并使它对最终用户透明。通常，我们可以使用较小的p = 102，因此仍在进行中。

泰勒级数的正弦近似值

2 个答案: