Question

我有这个练习：

“使用递归树来确定递归T（n）= T（n / 2）+ n ^ 2的良好渐近上界。使用替换方法验证您的答案”

我制作了这个递归树

我认为k - ＆gt;无穷大（在我的书中，当T中的输入变为1时，他们经常会停止重复，但我不认为是这种情况，当我没有其他信息时）。

我的结论是：

当我使用替换方法时，我假设T（n）= O（n ^ 2）

然后完成以下步骤：

当n> 0且c> 0时，我发现以下情况适用于某些选择c

因此T（n）<= cn ^ 2

我的问题是：“这是正确的做法吗？”

Answer 1

首先，正如菲利普所说，你的递归树是错误的。它最终并没有影响复杂性，但你得到的常数是错误的。

T(n) becomes
n^2 + T(n/2) becomes
n^2 + n^2/4 + T(n/4) becomes
...
n^2(1 + 1/4 + 1/16 + ...)

在一个地方停留在无限远地区，主要是品味和选择更方便的事情。在这种情况下，我会像你一样做，并使用无限和，因为我们可以使用几何系列公式来得到T(n) <= (4/3)n^2

唯一困扰我的是，你的证据最终倾向于非正式的。很容易迷失在非正式的证据中，所以如果我必须对你的作业进行评分，我会通过感应更加舒适，如下所示：

声明

We wish to prove that T(n) <= (4/3)*n^2, for n >= 1

c 和 n0 的具体值使证明更加可信，所以如果可以，请将它们放入。通常你需要运行一次证明才能找到值，然后回来把它们放进去，就好像你已经知道它们一样:)在这种情况下，我希望我的4/3猜测来自递归树结果正确。

通过归纳证明：

基本情况（n = 1）：

T(1) = 1

（你没有明确表示T（1）的值，但我想这应该是在原来的练习中）

T(1)  = 1
     <= 4/3
      = (4/3)*1^2
T(1) <= (4/3)*1^2

正如我们想要的那样。

归纳案例（n> 1）：

（这里我们假设所有n'＆lt; n）的归纳假设T(n') <= 4/3*(n')^2

我们知道

T(n) = n^2 + T(n/2)

归纳假设：

T(n) <= n^2 + (4/3)(n/2)^2

做一些代数：

T(n) <= n^2 + (4/3)(n/2)^2
      = n^2 + (1/3)n^2
      = (4/3)n^2
T(n) <= (4/3)*n^2

正如我们想要的那样。

可能看起来很无聊，但现在我可以肯定我的答案是正确的！

Answer 2

您的递归树是错误的。它应该是这样的：

N ^ 2
|
（N / 2）^ 2
|
（N / 4）^ 2
|
...
|
（N / 2 ^ k）的^ 2

一旦T达到1，你就可以安全地停止，因为你通常计算离散的“步数”，并且没有“0.34步”这样的东西。

由于您在每次迭代中将n除以2，因此k等于log2(n)。