Question

问题摘要

当H定义如下时，计算H：

H=0;
For (i=1; i<=n; i++) {
    For (j=1; j<=n; j++) {
        H = H + totient(i) * totient(j);
    }
}

totient(n)这是n的欧拉Totient函数。完整的问题可用here。

解决方案摘要

问题给出的伪代码是一种简单的计算H的方式。在观察之后，H实际上是从1到n的给定函数的总和，给定n，平方。我的解决方案是使用筛子生成最多sqrt(10^4) = 10^2的质数列表，并使用所说的筛子查找其素数并使用Euler's product formula来生成数字1到10 ^ 4的Euler Totient函数值。然后，我只需要对上述计算值求和并求平方即可得到H。

here提供了筛分代码和计算欧拉Totient函数值的代码。我的代码已被在线法官接受（在添加了我所链接的代码中未包括的求和部分和平方部分之后）。

问题

我注意到欧拉的Totient函数值的总和：1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 32, 42, 46, 58, 64, 72，从i = 1到i = 15。看来这可能是一些自定义的数学序列，我们可以直接计算i-th欧拉的Totient函数值，而无需使用某些数学公式将欧拉的Totient值本身求和。因此，我搜索了Google，发现了this。

我感兴趣的一个特定部分是这一部分：

Sum_ {k = 1..n} phi（k）给出不同算术级数，该级数包含无限数量的素数，并且其差值不超过n。例如，{1k + 1}，{2k + 1}，{3k + 1、3k + 2}，{4k + 1、4k + 3}，{5k + 1，.. 5k + 4}表示10个序列。 -Labos Elemer，2001年5月2日

但是要么文本格式不正确，要么我对数学太忘了，以至于我听不懂它的含义。我不知道{1k+1}等是什么意思。但是，我的直觉告诉我这是一个序列，可以用一些数学函数来表示，或者至少可以简化，这样我就不必计算高达N的欧拉Totient值，我认为这将是很多快点。有人可以提供更好的解决方案来计算最多N的欧拉Totient函数值之和吗？

Answer 1

如果您可以计算给定数字 n 的因式分解，则可以很容易地找到Euler的Totient函数的值。因此，我们假设：

n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn

然后：

H = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * .... * (1 - 1/pn)

例如：

n = 24 = 2 * 2 * 2 * 3
H = 24 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) = 24 * 1/2 * 2/3 = 24 * 1/3 = 8

在实现中可能有些棘手的是在计算中使用分数而不是十进制数。否则，您可能不会收到整数作为最终结果。

更多信息，包括上面公式背后的原因，可以在here中找到。

Answer 2

在OEIS中，A002088被宣称为A005728减1（“ Wolfdieter Lang，2016年11月22日”）。对于A005728，有一些公式（“ David W. Wilson，2002年5月25日”）： // shows the users of the chat channel const messageId = functions.database.ref( "/ChatMessages/{channelType}/{channelId}/{messageId}" ); // HANDLE NEW NOTIFICATION export const notificationCreatedEvent = messageId.onCreate((snapshot: any, event: any) => { // channelType is for if it is a public or private chat- if it is public it will list the mountain const { channelId } = event.params; const messageData = snapshot.val(); const message = messageData.text; const trimmedMessage = truncate(message, 20, true); // notification channel const notificationRef = admin .database() .ref(`/Notifications/${channelId}`); const notificationBody = (message.slice(0, 12) === "https://fire") ? "new image message" : trimmedMessage const payloadPrivateUser = { notification: { title: "Private Message", body: "Message: "+notificationBody } } const payload = { notification: { title: "Message in channel "+ channelId, body: "Message: " + notificationBody } } notificationRef .once("value") .then(async userListSnapshot => { const userList = await (<any>Object).values(userListSnapshot.val()); const response = channelId.length > 50 ? await admin.messaging().sendToDevice(userList, payloadPrivateUser): await admin.messaging().sendToDevice(userList, payload); }).catch(err=> { console.log(err) }) });。

这个公式似乎很快。一个未经优化的Python程序会在大约10秒钟内计算出前10000个数字。

a(n) = n(n+3)/2 - Sum(k = 2 to n, a([n/k]))

顺便说一句，请注意，要计算totient函数，不需要小数，一切都可以用整数算术完成：

num = 10000
a = [1] + [0] * num
for n in range(1, num+1):
    a[n] = n * (n+3) // 2
    for k in range(2, n+1):
        a[n] -= a[n // k]
print(a)

PS：我也不理解Labos Elemer的讲话。这让我想到了尚待证实的孪生素数猜想。无论如何，它不会给人以快速公式的印象。

欧拉Totient函数从1到N的有效和

2 个答案: