小故事：

将贝塞尔曲线从贝塞尔曲线表示转换为格式

的多元曲线

  x(t) = a*t^3 + b*t^2 + c*t + d
  y(t) = e*t^3 + f*t^2 + g*t + g

  Here t is your interpolation variable that goes from 0 to 1.
  a to d are the coefficients for the curve along the x-axis
  e to g are the coefficients for the curve along the y-axis.

现在你构建了曲线的第一个推导（很容易，因为它是一个polynomail）。这将给你一个二次方程。解决这些根源并丢弃0..1范围之外的所有根。再次找到根是很容易的，因为它只是一个二次多项式。

你是如何拥有一堆根源的。将所有这些插回原始的贝塞尔曲线，评估它们的位置，然后得到一堆积分。极端 - 如果存在 - 将在这些点之中。

现在你所要做的就是搜索具有最高（或最低 - 不知道你的坐标系看起来如何）y坐标的那个。

请注意，您可能根本没有得到极值。如果您的bezier例如是直线，则会发生这种情况。在这些情况下，您可能还希望在极值搜索中包含第一个和最后一个贝塞尔控制点。

编辑：

你已经问过如何将bezier变成多项式。那么，你从正常的贝塞尔曲线方程开始：

 x(t) = x0 * (1-t)³ + 3*x1*(1-t)²*t + 3*x2*(1-t)*t² +x3*t³

（x0到x3是曲线的四个控制点的x值）。

然后，你逐个将所有术语相乘，并用t的幂来对它们进行排序。不幸的是我没有在我正在写的计算机上运行我的数学包，而且我懒得在纸上做:-)所以如果有人运行了mathlab，你能不能编辑这个答案并添加扩展版本

无论如何，既然你对多项式并不感兴趣，只是它的衍生物更容易。您可以直接获得系数（此处仅显示x）：

A = 3.0f*(x[1] - x[0]);
B = 6.0f*(x[2] - 2.0f*x[1] + x[0]);
C = 3.0f*(x[3] - 3.0f*x[2] + 3.0f *x[1] - x[0]);

使用这三个值（A，B，C），第一个导数的多项式如下所示：

  x(t) = A*t^2 + B*t + C

现在将A，B和C插入到二次多项式的根求解器中，就完成了。作为参考，我使用下面的求解器C代码：

int GetQuadraticRoots (float A, float B, float C, float *roots)
{
  if ((C < -FLT_EPSILON) || (C > FLT_EPSILON))
  {
    float d,p;
    // it is a cubic:
    p = B*B - 4.0f * C*A;
    d = 0.5f / C;
    if (p>=0)
    {
      p = (float) sqrt(p);
      if ((p < -FLT_EPSILON) || (p > FLT_EPSILON))
      {
        // two single roots:
        roots[0] = (-B + p)*d;
        roots[1] = (-B - p)*d;
        return 2;
      } 
      // one double root:
      roots[0] = -B*d;
      return 1;
    } else {
      // no roots:
      return 0;
    }
  } 
  // it is linear:
  if ((B < -FLT_EPSILON) || (B > FLT_EPSILON))
  {
    // one single root:
    roots[0] = -A/B;
    return 1;
  }
  // it is constant, so .. no roots.
  return 0;
}

计算曲面的视界？

1 个答案:

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