如何解决以下递归关系

Question

如何解决以下重复关系？

f(n+2) = 2*f(n+1) - f(n) + 2  where n is even
f(n+2) = 3*f(n)               where n is odd
f(1) = f(2) = 1

对于奇数n，我可以解决递归问题，结果证明它是具有公共比率3的几何级数。

当n甚至是f(n) = r^n时，我就能找到并解决递归关系的同质部分。因此解决方案就是r = 1。因此，解决方案是c1 + c2*n。但是，如何解决特定的组成部分？我在正确的轨道上吗？上述解决方案还有其他方法吗？

Answer 1

奇数 n的重复很容易通过您尝试的替换来解决：

将其替换为偶 n的重复周期：

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尝试＃1

对形式进行一般替换：

^{请注意，根据奇数递归，指数是n/2而不是n，但这纯粹是选择问题}

匹配相同类型的术语：

但是此解决方案不适用于边界条件f(2) = 1：

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尝试＃2

事实证明，需要第二个指数项：

和以前一样，其中一个指数项需要匹配3^(n/2)：

最后一个等式具有解d = 0, -1；显然只有非平凡的  很有用：

全部 n ≥ 2的最终解决方案：

  

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替代方法

更长，但（也许至少在我看来是这样）更直观-扩大重复次数m次：

观察模式：

1. 对于扩展数m，奇数为 的加法因子为2，但对于偶数 m，其相加因子为抵消。

2. 每个扩展为 odd 2 * 3^(n/2-m)添加因子m，并为减去 even m。

3. 每个扩展也会为偶数 f(n-2m) 添加因子m，并减去表示 odd m。

结合这些观察结果，为第m次扩展写一个通用的封闭式表达式：

在最后一步中使用几何系列的标准公式。

递归停止于f(2) = 1：

与以前相同的结果。