我刚刚开始阅读TAOCP第1卷，我无法理解风格。
Knuth提到一种计算方法是四倍（Q，I，Omega，f） - 但我无法理解每种方法的意图。我理解他的第一个例子，但不明白他的第二个
我正在看第三版的第8页。
在本章的最后，有一个算法来讨论字符串集。
（我已经用一些更容易输入的希腊变量替换了 - 抱歉）
设A是一组有限的字母，让A *为A上所有字符串的集合。 我们的想法是对计算的状态进行编码，使它们由A *
的字符串表示Q = (s,j) where s is in A* and j is an integer, 0 <= j <= N
I = subset of Q with j = 0
Omega = subset with j = N
f = function below
（请注意，p＆amp; w是字符串） 如果和S是A *中的字符串，我们说如果s的字符串形式为字符串p和w的pTw，则T出现在s中。
f(s,j) = (s,aj) if Tj does not occur in s; f(s,j) = (pYjw,bj) if p is the shortest possible string for which s = pYjw f(s,N) = (s,N)
我理解制作字符串集的概念，但不理解他试图在这里说的所有。为什么我需要Q，I，Omega？真正向我解释的是什么（为什么我需要在f中使用3个函数？）??
任何人都可以帮忙解决一些问题吗？
答案 0 :(得分：14)
Q =一组状态（以便(s, j)代表s时的状态j
I =初始状态（因此要求j == 0）
Omega =最终状态（因此要求j == N）
f =过渡功能
此外，没有三个名为f的函数，而是f由三个方程式分段定义。
答案 1 :(得分：11)
为了完整披露，我最近wrote an article了解了Knuth（前例）对算法的正式定义。下面的大部分内容只是文章中相关文字的复制/粘贴，深入回答了您的第一个问题;
让我们正式定义一个四倍的计算方法（Q，I， Ω，f），其中Q是包含子集I和Ω的集合，f是a 从Q到自身的功能。
当Knuth将计算方法称为四元组时，他只是说计算方法由四个明确定义的部分组成。他将这四个部分标记为(Q, I, Ω, f)。然后他继续简要描述这个四重奏的每个组成部分。 I和Ω是集合（事物集合），Q也是一个集合，其中包含集合I和Ω中的内容。在这一点上，很容易错误地认为他意味着Q仅包含集合I和Ω而没有其他内容。但我们后来发现事实并非如此。最后，他将f描述为Q自身的函数。这意味着f是一个进程，它接受来自集合Q的元素的输入，并从Q返回或输出另一个元素。
此外f应保持Ω点固定;也就是说，f（q）应该 等于q的所有元素q。
这实质上意味着，如果参数是（thing in）set Ω的成员或元素，我们的函数f返回的内容将与其参数相同（即值不会改变） 。当Knuth在他的下一个声明中作出澄清时，这更有意义;扰流器警报 - Ω是我们的计算方法的可能输出集。一旦我们知道这一点，就会更容易理解。将输出传递回我们的函数不会改变它。
四个量Q，I，Ω，f分别用于表示 计算的状态，输入，输出和 计算规则。
因此Q是一个包含计算的所有可能状态的集合，即输入，输出和其间所有阶段的所有可能变化。集I包含所有可能的输入。集Ω包含所有可能的输出（对不起，如果我之前为你破坏了这个启示）。最后，f代表计算规则;也就是说，进程/ es应用于每个状态以获得下一个状态，最终（希望）直到我们获得输出。
为了澄清，f表示单个函数，其具有基于其可能输入定义的输出。在此特定示例中，它只有三个可能的输出，并且在其他算法中可能有更多（或更少）。那么，以这种方式定义算法组件的目的是什么呢？通过使用正式表示法定义它们，它们也可以在分析特定算法时进行分析并进行数学检验。
我回答another question on this subject here。但基本上Knuth在这里所做的就是使用Markov's algorithm来实现他已经描述的内容。值得研究（并通过几个例子）Markov算法来帮助您准确理解这里发生的事情。
参考
答案 2 :(得分：1)
我不是100％肯定，但看起来Q是0＆lt; = J＆lt; = N的所有有序对（s，j）的集合。这将是你的域。它是给定N和字符串s的所有可能状态的集合。
我是Q的子集，其中所有有序对包含J = 0或初始状态。 Omega是Q的子集，其中所有有序对包含J = N或最终状态。
f是域Q的实际功能。
修改
将函数定义视为一个函数的行，但不同的情况取决于给定的输入。想想你会用一种语言写的函数。例如：
tuple f(string s, int i)
{
if (Tj not in s)
(s, aj)
else if ( p is shortest possible length such that s = pYjw)
(pYjw,bj)
else if ( i == N )
(s, N)
}
另一个例子是Fibonacci function definition。看看如何定义？ 有意义吗？
答案 3 :(得分：1)
如果你已经阅读了他在书中早些时候提到的euclid的gcd算法。我们的想法是将每次迭代的开始标记为初始阶段，然后定义将在一次循环迭代（即N）中出现的状态数。现在你会记得当m的余数除以n等于零时我们接受了答案并停止了计算。即我们正在搜索字符串Yj的特定事件。当计算机在循环中到达itz的最后阶段时，它必然会停止或重复。
答案 4 :(得分：1)
记住我们正在定义一种计算方法＆＃39;而不是算法。什么是天真的计算方法？
a＆＃34;程序＆＃34;除了可能缺乏有限性之外，它具有算法的所有特征，可以称为计算方法。
简单地说Q是一种计算方法。
Q = {all possible states of computations, I, Ω}
I = {all possible inputs}
Ω = {all possible outputs}
f = computational rule
f是Q中的一个函数。
f: Q ---> Q
[I] [Ω]
f应该保留Ωpointwise，这意味着：
f（q）= q，∀q∈Ω 请注意，它不是任何不同的功能，但相同的计算规则只是分开到Ω
现在一个程序将有一个序列。显然，计算方法也必须有一个序列。 因此，
集合I中的每个输入x定义计算序列x 0 ，x 1 ，x 2 ，...，如下： 对于k≥0，x 0 = x且x k + 1 = f（x k ）。
x 0 = x？ 不要忘记输入x是一个序列，因此初始输入序列将是x 0 。 当我们正在处理一个序列时，当我们关注＆＃39; k＆＃39;状态，序列中元素的顺序和位置很重要。因此，计算规则f使得位置或更精确的单词状态为＆＃39; k th 元素的结果为k + 1 th 状态。 这样，我们可以将函数单独应用于每个新状态以获得后面的状态。
如果x k + 1 不在Ω中，则根据函数的定义没有意义。因此，Knuth的措辞。
如果k是x k 为Ω的最小整数，则称计算序列以k步结束，并且在这种情况下，据说产生输出x k 来自x。
因此，这是计算方法的定义。计算规则就是算法。