Question

我正在做一个关于电影数据集上余弦相似度的项目，我对计算余弦相似度的公式感到困惑。

但是我在线搜索，一些文章表明分母是：sqrt（A1 ^ 2 + B1 ^ 2）* sqrt（A2 ^ 2 + B2 ^ 2）* ... * sqrt（Ai ^ 2 + Bi ^ 2）

我很困惑，有什么区别？哪个是正确的，或者它们都是正确的？

Answer 1

图像上的一个正确。在两个维度上，它源自Law of cosines 它将三角形的一侧的长度与另一侧的长度以及与c相反的角度theta关联起来：

c^2==a^2+b^2-2*b*c(cos(theta))

您可以用多种方法证明这一点，一个很好的验证方法是知道cos(gamma)==0（a和b边正交）时，您得到勾股定理。要在图像上获取公式，必须将其转换为解析几何（矢量）

norm(A-B)^2==norm(A)^2+norm(B)^2−2*norm(A)*norm(B)*cos(theta)

并通过使用规范（A-B）^ 2是定义（A-B）*（A-B）并扩展我们得到

norm(A-B)^2 ==norm(A)^2+norm(B)^2-2*A*B

因此，将两个表达式都相等，并进行抵消，就会得到结果

norm(A)*norm(B)*cos(theta) = A*B

这是定义（和norm(v) = sqrt(v*v)）上（重新排列的）公式。对于n维，您可以展示出这种效果，这是因为旋转欧几里得空间会保留范数和内积，并且矢量所跨的2D平面恰好是xy平面的旋转。

良好的完整性检查是，正交性产生的余弦为0，并且余弦在0和1之间（此is the Cauchy Schwarz theorem）

更新：在评论中提到的示例中，您可以通过运行

查看博客的结果

import sklearn.metrics.pairwise as pw
print(pw.cosine_similarity([[4,3]],[[5,5]]))
print(pw.cosine_similarity([[4,3,5]],[[5,5,1]]))

请注意，如果您运行：

from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances
print(pairwise_distances([[4,3,5]],[[5,5,1]],metric='cosine'))

您得到0.208而不是0.792，这是因为使用余弦度量表示为1-cos(theta)（请参见0.208 + 0.792为1）。之所以进行这种转换，是因为在谈论距离时，您希望一个点到它自己的距离为0。