通过一次翻转k位使最大值为1

Question

给定一个n位向量和一个整数k，1 <= k <= n，我们必须通过多次执行以下操作（包括零次）来最大化其中的个数：

• 准确选择k位（不一定连续）并翻转其状态（从0到1，1到0）;

经过分析，我得出结论，如果n> k，我们也可以同时翻转任意两位。例如，对于n = 5，k =4。我们可以这样做，仅翻转最后两位。

• xxxx _
• xxx_x

'x'表示我们在该位置翻转位。

但是我不确定之后该如何进行，而且我无法再进行任何观察了。那么，什么是正确的方法呢？您可能会认为n ^ 2算法是可行的。

Answer 1

翻转零，直到零的数量小于k。令m为零。

翻转k-m / 2个和m / 2个零（整数除法）。现在您有了m +（k-m / 2）-m / 2 = m + k-m / 2-m / 2〜k个零。 （大约是整数除法的b / c）。

最后，翻转所有零和必要的数目，以得到k次翻转。取决于m的奇偶性，这将是全1或全是闭合。

Answer 2

戴夫的方法似乎是正确的。我将分享我在这里发布问题后发现的问题。

让零的数量为z，现在让自己确信，如果k < n，我们可以使用问题中提到的k位运算的组合来翻转任意两个位（一对） 。这里有一个参数可以帮助您满足这一事实，选择除要翻转的那对之外的任何k - 1位；然后从对中选择一位，与我们刚选择的k - 1一起应用操作；然后从对中选择另一位以及我们之前选择的k - 1位，再次应用该操作。如果k - 1或k < n至少为n，我们将保证找到这些k + 1辅助位。

很自然地会出现两种情况：

• k == n：很明显，我们只能翻转全部或全部不翻转。答案是max(n - z, z)
• k < n：在这种情况下，我们可以翻转任何k位，也可以翻转任何2位（使用上面的参数）。现在，如果z < k只能使用2位翻转，并且如果z为奇数，则剩下的位仍为0，答案为n - 1；如果z是偶数，我们将它们全部翻转为1，所以答案是n。现在，当z >= k时，我们可以同时使用k位的翻转和2位的翻转，这就是说，如果z是奇数而k是偶数，我们剩下一个0（答案是n - 1），否则我们总是可以将所有0都变成1（答案是n）。

最后声明的说明：如果我们可以同时使用k位翻转和2位翻转，而z恰好是奇数，我们尝试使用一个k位翻转更改其余0的奇偶校验（{{1}的奇偶校验）。我们只有在k为奇数的情况下才能这样做，否则我们就不能这样做，对奇数个零使用2位运算将使我们剩下一个零。因此，简而言之，如果z - k等于奇数k，我们将剩下一个0，否则得到全1。