语言L = {w∈{a，b} ∗ |的下推自动机设计（w = w ^ R）和a的数量= b的数量}

Question

w = w ^ R表示w的倒数与w相同

我正在尝试为L = {w∈{a，b} ∗ | |创建下推自动机。 （w = w ^ R）和a的数量= b的数量}。

我有相等数量的a和b的PDA和回文的PDA。试图将它们结合起来是正确的步骤吗？

Answer 1

使用无上下文语言的抽水引理，我们将证明该语言不是上下文无关的。假设该语言是上下文无关的。然后，通过针对上下文无关语言的抽水式引理，该语言中的任何单词w都可以写成w = uvxyz，其中满足以下条件：

1. | vxy | <= p
2. | vy | > 0
3. 对于任何自然数k，u（v ^ k）x（y ^ k）z也是该语言

考虑语言中的字符串（a ^ p）（b ^ 1.5p）（a ^ p）（b ^ 1.5p）（a ^ p）（a与b的编号相同，并且相同向前或向后）。子字符串vxy有多种情况：

1. vxy完全由第一段中的a组成。抽水将导致一个字符串，该字符串不能是回文，因为a的第一段和最后一段不再具有相同的长度。
2. vxy由前两个段中的a和b组成。抽水会改变前两个部分，但不会改变最后两个部分，因此不会产生回文。
3. vxy由第二段中的b组成。抽水会导致字符串不是回文。
4. vxy由第二部分的b和中间的a组成。同样，这不会产生回文，因为左侧的b小于右侧的b。
5. vxy由中间的一个组成。抽水的结果很可能是回文，但现在不可能同时具有相等的a和b数。

所有剩余案例与已涵盖的案例完全对称。这意味着vxy别无选择，以致于泵送给我们使用该语言的字符串。这是一个矛盾，因此我们对语言是无上下文的假设是错误的。

我们依靠| vxy | <= p可以减少病例数，使抽水失败。如果我们选择a的中间段的长度小于p-2，这将不会起作用，因为我们可以选择v =（b ^ n）（a ^ n）和y =（a ^ n）（b ^ n），就可以了。