找出随机以正方形为中心的圆正好包含K个点的概率

Question

我正在解决一个减少到以下方面的问题：

1. 给出一个正方形，其顶点分别为（0，0），（0，1），（1，0）和（1，1）。
2. 给出一个严格的非空的K点集（x，y），严格地在这个正方形内且数字为0
3. 找到一个概率P，该半径为R且正方形为中心（可以在侧面）的圆包含所有K个点。

我认为这是一个几何概率，要计算答案，我们需要将包含所有K个点的所有圆的总面积除以正方形的面积，显然为1。
令K = 1，那么就很容易计算P，我们取这个点并围绕它旋转一个圆，这样它将绘制一个半径为2R的圆，其中包括所有包含该点的半径R的圆；剪掉正方形外的零件，并计算剩余的面积。
如果K = 2，则首先我们检查点之间的距离是否不大于2R，以便存在包含两个点的圆。但是我不太了解如何计算总面积，因为如果可以的话，最终的数字将是4叶花。以此类推，以获得更大的K ...

我觉得这可能是一个简单的解决方案，并且想知道是否有更优雅的解决方案。

Answer 1

给定K个点，半径为R的圆盘如果覆盖了它们的凸包，则将其覆盖。如果尝试磁盘的所有位置，则最极端的情况是圆周穿过一两个船体顶点。如果考虑通过给定顶点的所有位置，则可以在与船体上两个相邻顶点的接触之间的角度内旋转磁盘。在旋转过程中，圆心描绘出半径为R的圆弧。

因此，圆盘中心的位置是由半径为R的圆弧构成的凸曲线多边形。要获得所需的概率，请将此多边形与单位正方形相交并计算出公共面积。

在该图中，K = 6点的凸包为绿色。红色圆圈是具有两个触点的极限位置。磁盘中心的位置以蓝色定界。

一旦有了凸包，构建曲线多边形就不那么困难了，要获得其面积，可以将其分解为标准多边形和一组圆形线段。

但是在单元格内修剪会使其颈部疼痛。

Answer 2

我认为可以对这个问题进行几何解决。但是，我也认为这可能是“蒙特卡洛法”的一个很好的应用领域。

通常，您可以使用monte carlo方法来计算数字PI。参见：

Animated calculation of the number PI using Monte Carlo method

现在，您的问题将需要进行额外的修改。您需要随机移动中心，并且需要随机选择R。

一种可能的算法如下：

1. 随机选择一个中心
2. 随机选择R
3. 申请蒙特卡洛积分1000-10000点
4. 将概率分布放入数组中
5. 重新执行上述步骤，直到中心选择和R选择概率分布均匀（即，您为每个可能的中心（x，y）选择了大约每个可能的R

加快上述操作速度的一种方法可能是这样的：

• 创建一个中心点数组，每个中心点将初始正方形划分为.05正方形网格。
• 对于每个中心，将R分为0.05个点间隔。
• 为每个中心和每个R值应用蒙特卡洛。

此方法的一个优点是，如果您的问题有所改变，则不必每次都提出不同的分析解决方案。您只需稍作更改即可重新运行上述算法，然后等待。