Question

我尝试试验列表的定义。例如，让我们看一下这个定义：

Inductive list1 : Type -> Type := nil1 : forall (A : Type), list1 A
                               | cons1 : forall (A : Type), A -> list1 A -> list1 A.

您可能会认为上面的定义与此等效：

Inductive list0 (A : Type) : Type := nil0 : list0 A
                                   | cons0 : A -> list0 A -> list0 A.

为什么要这张地图：

Fixpoint map0 {A : Type} {B : Type} (f : A -> B) (xs : list0 A) : list0 B :=
  match xs with
    nil0 _ => nil0 B
  | cons0 _ v ys => cons0 B (f v) (map0 f ys)
  end.

被接受，但是这个不是：

Fail Fixpoint map1 {A : Type} {B : Type} (f : A -> B) (xs : list1 A) :=
  match xs with
    nil1 _ => nil1 B
  | cons1 _ v ys => cons1 B (f v) (map1 f ys)
  end.

？

Answer 1

这确实是数据类型定义的一个令人困惑的方面。问题在于，list1 不等同于list0，因为在这些方法中如何处理 indices 和 parameters 定义。在Coq术语中，“索引”表示在冒号右侧声明的参数，如list1中所示。相反，“参数”是在冒号左侧声明的参数，如A中的list0。

使用索引时，match表达式的返回类型对于索引必须是通用的。可以从list1_rec的类型中看出这一点，它是用于在列表上编写递归定义的组合器：

Check list1_rec.

list1_rec
     : forall P : forall T : Type, list1 T -> Set,
       (forall A : Type, P A (nil1 A)) ->
       (forall (A : Type) (a : A) (l : list1 A), P A l -> P A (cons1 A a l)) ->
       forall (T : Type) (l : list1 T), P T l

此类型表示给定由列表和元素P索引的通用类型l : list1 A，您可以通过告诉Coq {{1}返回什么来产生P A l类型的结果}}和nil1。但是，cons1分支的类型（cons1的第三个参数）表明，该分支不仅必须适用于以list1类型出现的A，而且还适用于所有 other 类型l。将此与A'的类型进行比较：

list0_rec

Check list0_rec. list0_rec : forall (A : Type) (P : list0 A -> Set), P (nil0 A) -> (forall (a : A) (l : list0 A), P l -> P (cons0 A a l)) -> forall l : list0 A, P l的分支没有cons0位，这意味着该分支只需要为forall A中的A类型工作。

这在编写诸如l : list0 A之类的函数时会有所不同。在map中，我们被允许应用map0，因为我们知道f : A -> B的参数类型为cons0。在A中，map1的参数具有不同的通用类型cons1，导致出现此错误消息：

A'

Answer 2

为完整起见，您可以在map上定义函数list1：

Fixpoint map1 {A : Type} {B : Type} (f : A -> B) (xs : list1 A) :=
  match xs with
  | nil1 A' => fun _ => nil1 B
  | cons1 A' v ys => fun f => cons1 B (f v) (map1 f ys)
  end f.

这是所谓的convoy pattern的示例。通常，需要在return构造中添加match子句，以便进行类型检查，但是Coq足够聪明来推断它。

但是，我当然不赞成使用列表的这种定义，因为在类似情况下使用起来很麻烦。

为什么coq的typechecker拒绝我的地图定义？

2 个答案: