如何阅读Coq对proj1_sig的定义？

Question

在Coq中，Inductive sig (A:Type) (P:A -> Prop) : Type := exist : forall x:A, P x -> sig P. 被定义为

proj1_sig

我读作

＆＃34; sig P是一种类型，其中P是取A并返回Prop的函数。定义类型，使得如果P x成立，则类型A的元素x的类型为sig P. ＃34;

Definition proj1_sig (e:sig P) := match e with | exist _ a b => a end. 定义为

leave_to

我不知道该怎么做。有人可以提供更直观的理解吗？

Answer 1

非依赖对与sig

  

定义类型，如果x成立，A类型的sig P类型为P x。

这不完全正确：我们不能说x : sig A P。 e类型的居民sig A P基本上是元素x : A的对和P x拥有的证明（这称为{{} 3}}）。 x和P x被＆＃34;包裹＆＃34;一起使用数据构造函数exist。

要看到这一点，我们首先考虑非依赖对类型prod，其定义如下：

Inductive prod (A B : Type) : Type :=  pair : A -> B -> A * B

prod的居民是成对的，例如pair 1 true（或使用符号，(1, true)），其中两个组件的类型 彼此。

由于Coq中的A -> B只是forall _ : A, B（定义为dependent pair）的语法糖，因此prod的定义可以被移植到

中

Inductive prod (A B : Type) : Type :=  pair : forall _ : A, B -> prod A B

上面的定义可能有助于看到sig A P的元素是（依赖）对。

我们可以从proj1_sig

的实现和类型中获得什么

从实现中我们可以看到proj1_sig e解包了这对 返回第一个组件，即。 x，丢弃了P x的证明。

here模块包含以下注释：

  

(sig A P)或更具暗示性{x:A | P x}，表示A类型的元素子集，它满足谓词P。

如果我们查看proj1_sig

的类型

Check proj1_sig.

proj1_sig : forall (A : Type) (P : A -> Prop), {x : A | P x} -> A

我们会看到proj1_sig为我们提供了一种从子集A恢复超集{x : A | P x}元素的方法。

fst和proj1_sig

之间的模拟

另外，我们可以说在某种意义上proj1_sig类似于Coq.Init.Specif函数，它返回一对的第一个组成部分：

Check @fst.

fst : forall A B : Type, A * B -> A

fst有一个微不足道的属性：

Goal forall A B (a : A) (b : B),
  fst (a, b) = a.
Proof. reflexivity. Qed.

我们可以为proj1_sig：

制定类似的声明

Goal forall A (P : A -> Prop) (x : A) (prf : P x),
  proj1_sig (exist P x prf) = x.
Proof. reflexivity. Qed.