Question

为什么浮点数据类型的精度不与其大小成正比？例如：

std::cout << sizeof(float) << "\n";  // this gives 4 on my machine "debian 64 bit" with "gcc 6.3.0"  
std::cout << std::numeric_limits<float>::digits10  << "\n"; // gives 6

std::cout << sizeof(double) << "\n";  // gives 8
std::cout << std::numeric_limits<double>::digits10 <<  "\n"; // gives 15

std::cout << sizeof(long double) <<  "\n";  // gives 16
std::cout << std::numeric_limits<long double>::digits10  << "\n"; // gives 18

如您所见，double的精度大约是float的两倍，这是有道理的，因为double的大小是float的两倍

但是double和long double之间的情况不同，long double的大小为128位，是64位double的两倍，但是它的精度只有三位数！

我不知道如何实现浮点数，但是从一个合理的角度来看，仅以三位精度使用多于64位的内存甚至有意义吗？！

我四处搜寻，但找不到简单直接的答案。如果有人可以解释为什么long double的精度仅比double高三位数，那么您是否也可以解释为什么与double和float之间的精度不同呢？ / p>

我还想知道如何在不定义自己的数据类型的情况下获得更好的精度，而数据类型显然会牺牲性能？

Answer 1

“精度”不只是浮点值。这也与“幅度”有关（虽然不确定该术语是否正确！）：表示的值可以变成多大（或小）？

为此，请尝试同时打印每种类型的max_exponent：

std::cout << "float: " << sizeof(float) << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<float>::digits << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<float>::max_exponent << "\n";

std::cout << "double: " << sizeof(double) << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<double>::digits << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<double>::max_exponent << "\n";

std::cout << "long double: " <<  sizeof(long double) << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<long double>::digits << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<long double>::max_exponent << "\n";

在ideone上的输出：

float: 4
24
128
double: 8
53
1024
long double: 16
64
16384

因此，多余的位并不能全部用于表示更多的数字（精度），但可以使指数更大。使用IEE 754 long double中的措词通常会增加指数范围，而不是精度。

上面我的ideone样例所示的格式显示了（可能）"x86 extended precision format"，它为整数部分分配1位，为小数部分分配63位（共64位）和15位（2 ^（ 15-1）= 16384，用于指数的符号的1位）。

请注意，C ++标准仅要求long double至少与double一样精确，因此long double可以是double的同义词，所示的x86扩展为精度格式（最有可能）或更好（PowerPC上仅AFAIK GCC）。

我还想知道如何在不定义自己的数据类型的情况下获得更好的精度，而数据类型显然会牺牲性能？

您需要自己编写（一定要有学习经验，最好不要编写生产代码）或使用诸如GNU MPFR或Boost.Multiprecision之类的库。

Answer 2

C ++标准没有为浮点类型设置固定要求，除了必须满足的最低要求。

就像您正在使用的C ++实现一样，它以Intel处理器为目标。除了常见的IEEE-754基本32位和64位二进制浮点格式，Intel还具有80位格式。您的C ++实现可能会将其用于long double。

英特尔的80位格式的有效位数比64位double的格式多11位。（实际上，它使用64，而double格式使用52，但是其中一个保留用于显式前导1。）多11位意味着2 ¹¹ = 2048倍有效值，大约还有三位十进制数字。

80位格式（十个字节）优先与16字节的倍数对齐，因此包含六个字节的填充以使long double大小为16字节的倍数。

Answer 3

您的问题中有许多不正确的假设

首先，对于C ++中的类型大小没有要求。该标准仅规定每种类型的最低精度，并且...

...类型double的精度至少与float相同，而类型long double的精度至少与double相同。类型float的值集是类型double的值集的子集； double类型的值集是long double类型的值集的子集。浮点类型的值表示形式是实现定义的。

http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3337.pdf

大多数现代实现都将float和double映射到IEEE-754单精度和双精度格式，因为对它们的硬件支持是主流。但是long double没有这么广泛的支持，因为很少有人需要比双精度更高的精度，而那些硬件的成本要高得多。因此，某些平台将其映射到IEEE-754双精度，即与double相同。如果基础硬件支持，则另一些映射到80-bit IEEE 754 extended-precision format。否则，long double将由double-double arithmetic或IEEE-754 quadruple-precision

表示

此外，精度不能线性缩放为该类型的位数。可以很容易地看出，double的精确度是{{1}的两倍以上，并且比float的范围宽8倍，尽管存储量只有两倍，因为它有53个有效位为24位浮点数和3位以上的指数位。类型也可以具有trap representations或填充位，因此即使它们具有相同的大小并属于相同的类别（整数或浮点），不同的类型也可能具有不同的范围

所以这里重要的是float。如果打印，您将看到std::numeric_limits<long double>::digits具有有效位的64位，仅比long double多11位。 See it live。这意味着您的编译器对double使用80位扩展精度，其余的只是填充字节来保持对齐。实际上gcc has various options会更改您的输出：

long double和-malign-double用于控制-mno-align-double的对齐方式
long double和-m96bit-long-double用于更改填充大小
-m128bit-long-double，-mlong-double-64和-mlong-double-80用于控制基础的-mlong-double-128实现

通过更改选项，您将获得long double

的以下结果

-mlong-double-128：大小= 16，数字10 = 33，数字2 = 113
-m96bit-long-double：大小= 12，数字10 = 18，数字2 = 64
-mlong-double-64：大小= 8，数字10 = 15，数字2 = 53

如果禁用填充，您将获得size = 10，但这会因未对齐而导致性能损失

在PowerPC中，您也可以see the same phenomena when changing the floating-point format。使用long double（双精度双精度算术，这是默认设置），您将获得（size，digits10，digits2）=（16，31，106），但是使用-mabi=ibmlongdouble时，元组将变为（16， 33，113）

有关更多信息，您应该阅读https://en.wikipedia.org/wiki/Long_double

我还想知道如何在不定义自己的数据类型的情况下获得更高的精度

要搜索的关键字是arbitrary-precision arithmetic。在List of arbitrary-precision arithmetic software中可以找到各种库。您可以在标签bigint，biginteger或arbitrary-precision

中找到更多信息。

C ++中的浮点数据类型的精度

3 个答案: