如何评估这条线积分（Python-Sympy）

Question

想法是计算以下矢量场和曲线的线积分：

这是我尝试过的代码：

import numpy as np
from sympy import *
from sympy import Curve, line_integrate
from sympy.abc import x, y, t
C = Curve([cos(t) + 1, sin(t) + 1, 1 - cos(t) - sin(t)], (t, 0, 2*np.pi))
line_integrate(y * exp(x) +  x**2 + exp(x) + z**2 * exp(z), C, [x, y, z])

但是ValueError：Function参数应该为（x（t），y（t））但得到[cos（t）+ 1，sin（t）+1，-sin（t）-cos（t）+ 1]。

那我怎么计算这条线的积分？

我认为这条线积分可能包含没有确切解的积分。如果您提供数值近似方法，也可以。

谢谢

Answer 1

您收到的值错误并非来自调用line_integrate函数；这是因为根据Curve类的source code，仅支持2D欧几里得空间中的函数。仍然可以在不根据this research blog使用sympy的情况下计算该积分，而我只是通过在Google上搜索可行的方法而发现的。{p>

您需要的代码如下：

import autograd.numpy as np
from autograd import elementwise_grad, grad, jacobian
from scipy.integrate import quad

def F(X):
    x, y, z = X
    return [y * np.exp(x), x**2 + np.exp(x), z**2 * np.exp(z)]

def C(t):
    return np.array([np.cos(t) + 1, np.sin(t) + 1, 1 - np.cos(t) - np.sin(t)])

dCdt = jacobian(C, 0)

def integrand(t):
    return F(C(t)) @ dCdt(t)

I, e = quad(integrand, 0, 2 * np.pi)

变量I然后存储问题的数值解。

Answer 2

在这种情况下，您可以使用line_integrate计算积分，因为我们可以将3d积分减小为2d积分。我很抱歉地说我对python不够了解，无法编写代码，但这是练习： 如果我们写

C(t) = x(t),y(t),z(t)

然后要注意的是

z(t) = 3 - x(t) - y(t)

等等

dz = -dx - dy

所以，我们可以写

F.dr = Fx*dx + Fy*dy + Fz*dz
     = (Fx-Fz)*dx + (Fy-Fz)*dy

因此，我们已将问题简化为二维问题：我们集成了

G = (Fx-Fz)*i + (Fx-Fz)*j

回合

t -> x(t), y(t)

请注意，在G中，我们需要通过替换来摆脱z

z = 3 - x - y

Answer 3

您可以定义一个函数：

import sympy as sp
from sympy import *
def linea3(f,C):
 P = f[0].subs([(x,C[0]),(y,C[1]),(z,C[2])])
 Q = f[1].subs([(x,C[0]),(y,C[1]),(z,C[2])])
 R = f[2].subs([(x,C[0]),(y,C[1]),(z,C[2])])
 dx = diff(C[0],t)
 dy = diff(C[1],t)
 dz = diff(C[2],t)
 m = integrate(P*dx+Q*dy+R*dz,(t,C[3],C[4]))
 return m

然后使用示例：

 f = [x**2*z**2,y**2*z**2,x*y*z]
 C = [2*cos(t),2*sin(t),4,0,2*sp.pi]