Question

我在3D空间中有一个起点（x，y，z），它对应于一个圆的中心，在终点（x2，y2，z2）中，对应于球的表面。我在球体表面上还有许多其他端点（例如x3，y3，z3），每个端点具有相同的半径长度（rr）。

我想计算从中心点（起点）到终点以及所有其他终点的运动角度。最终，假设有100个球体，我想看看端点是否都从中心以相似的方向性/角度移动。鉴于此目的，我需要使用0和360的方向来“看起来相似”，因此我认为我需要使用某种类型的特定平面。

这篇文章（https://math.stackexchange.com/questions/707673/find-angle-in-degrees-from-one-point-to-another-in-2d-space）末尾的评论使用atan2函数具有很好的图形和答案，但这仅适用于2D空间。

这篇文章（Signed angle between two 3D vectors with same origin within the same plane）和这篇Angle between 3 points in 3d space使我开始学习。

这个（The X angle between two 3D vectors?）也很有用，但根据水平系统计算出错误的角度类型（我认为）。

给出所有这些，这就是到目前为止我要提出的内容。这里有几点：

a =  c(-0.0684486861, 0.0125857380, 0.0201056441) #start/center of sphere
b = c(-0.0650557851, 0.0175286346, -0.0228805516) #end point

v1 = c( (a[1] - b[1]), (a[2] - b[2]), (a[3] - b[3]) ) #vector

那么我想我需要计算v1和从两个点成90度平行于平面的向量之间的点积？然后在角度之间取余弦？但是，如果半径始终保持不变不是那么容易吗？

我对算术还不够了解，甚至连两点都没有，要为我所有的领域/点做这些的开发代码也少得多。指导表示赞赏。

Answer 1

术语“角度”不适用于两个3D点之间的方向。

点差 D 是矢量。它由三个分量（x，y，z）表征。

您可以将此向量制作单位归一化 d ，并将此方向表示为direction cosines，其中d.x = cos(angle between d and OX)，依此类推。

3D方向也可能在spherical coordinate system中表示为方向与OZ轴之间的夹角theta，以及方向在OXY平面和OX轴上的投影之间的夹角phi。

但是对于方向比较，没有唯一的通用方法。您需要根据自己的特定目的定义一些指标。例如，归一化向量的标量积（方向之间的余弦值）

如果半径为rr，球体中心为C=(xc,yc,yc)，球体P=(x1,y1,y1)和P2=(x2,y2,y2)上有两个点，则从中心到这些点的方向之间的角度就是向量之间的角度：

V1 = P1 - C
V2 = P2 - C

是（使用点积和反余弦）

angle = acos( ((x1-cx)*(x2-cx) + (y1-cy)*(y2-cy) + (z1-cz)*(z2-cz)) / (rr*rr) )

计算具有特定中心的球的3D点之间的角度

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