由空间中两点之间的弧长参数化的螺旋方程

Question

空间中任意两点之间的弧长（即弧长函数）参数化的螺旋线的等式是多少？这有什么功能吗？我如何使用matlab或mathematica实现相同的功能？

Answer 1

查找由

定义的螺旋的弧长参数化

    r(t)  =  cos t i + sin t j + t k

弧长= s =积分（a，b）{sqrt（（dx / dt）^ 2 +（dy / dt）^ 2 +（dz / dt）^ 2）dt}

首先找到弧长函数

     s(t) = Integral(0,t) { sqrt((sin u)^2 + (cos u)^2 + 1) du }
          = Integral(0,t) { sqrt(2) du } = sqrt(2) * t

解决t给出

    t   =  s / sqrt(2)

现在替换回来获取

    r(s)  =  cos(s / sqrt(2)) i + sin(s / sqrt(2)) j + (s / sqrt(2)) k

我会留下最后一点给你！

Answer 2

只是为了补充Mitch Wheat的答案，螺旋不是唯一的;对于给定的轴，自由度是转弯，半径和相位之间的距离（P，A和phi以下）

如果你概括为

w = 2*pi/P
r(t) = (A cos (wt-phi)) i + (A sin (wt-phi)) j + (t) k

然后，一种分析作为t函数的arclength（无需明确计算arclength积分）的方法是认识到速度的大小是恒定的;平行于半径的速度分量为0，平行于轴的速度分量为1，垂直于半径和轴的速度分量为Aw，因此速度的大小为speed = sqrt（1 + A ² w ² ），=＆gt; arclength s = sqrt（1 + A ² w ² ）t

您需要某种方式来定义轴，P，A和phi作为您给出的任何输入的函数。只是端点和arclength是不够的。