非重叠圆的螺旋

Question

我想创建一个圆形的圆形标记，这些标记不会相互重叠。这是我到目前为止的结果，但是它与第一个标记重叠，而最后一个标记彼此相距太远。

t = pi : pi/20 : 20*pi;
t = asind(1./t);
r = t;
x = r .* cos(t);
y = r .* sin(t);
plot(x,y,'o-');
axis equal; hold on 

在第二图中显示了未按如下方式将t重新定义为asinf（1 / t）的图。

t = pi : pi/20 : 20*pi;
r = t;
x = r .* cos(t);
y = r .* sin(t);
plot(x,y,'o-');

关于角度t的间距必须如何实现以确保标记不重叠的任何想法吗？

Answer 1

您可以估计圆弧长度，从而大大简化Gilles-Phillipe's solution。这是一种简化，这意味着标记之间的距离到处都不相同。但是，距离是相当一致的，尤其是更远的距离。

此处的近似值是假设螺旋局部为一个圆。然后，弧长为r*dt，位于螺旋线中距原点的距离r处，以改变dt弧度。

我们现在不再需要求解符号方程。我循环编写了代码。我确信可以对其进行矢量化处理，使整个过程变成两行代码，但我会将其作为练习留给读者。

这是代码：

d = 1; % step size
q = 1/(2*pi); % spiral constant -- radius grows by q every 1 radian turn
N = 300; % number of points

t = 0; % initial angle
r = d; % initial radius
p = zeros(100,2);
p(1,:) = [r*cos(t),r*sin(t)]; % first point
for ii=2:N
   dt = d/r;
   t = t+dt;
   r = r+dt*q;
   p(ii,:) = [r*cos(t),r*sin(t)];
end

clf
plot(p(:,1),p(:,2),'o-') 
axis equal

Answer 2

尝试一下：

syms s;
scale = 10;
l = scale/2 : scale/2 : 40*scale;
t = double(arrayfun(@(y) vpasolve((0.5*(s*sqrt(1+s^2)+asinh(s)))==y,s), l));
x = t .* cos(t);
y = t .* sin(t);
plot(x,y,'o-');
pbaspect([1 1 1]);
axis(scale*[-5 5 -5 5])

这个想法是使用曲线的弧长来参数化。该螺旋的弧长为l=1/2*(t*sqrt(1+t*t)+asinh(t))（可通过Matlab符号积分找到）。为了均匀地放置点，我们对弧长进行均匀采样，并通过求解方程式找到对应的t。由于无法轻松地用符号求解，因此我们使用数值求解器。

请注意，绘图的比例和纵横比对于使其看起来均匀且不重叠非常重要。这就是为什么我添加了轴/比率定义。由于每个点都是通过数值求解的，因此可能需要花费大量时间进行评估。也许有一种更快的方法，但是至少您有结果。

我得到以下结果：