对于非常大的数字，近似二项式系数的对数

Question

我目前正努力计算非常大的二项式系数，比如说n <10,000,000且n

到目前为止，我已经尝试了许多方法来处理这些计算所产生的大量数字。但是，问题在于我不需要一次计算这些二项式系数，而是数十万次。这意味着，计算阶乘的常规方法到目前为止太昂贵了，而像long long int这样的标准数据类型太受限制，无法容纳这些数字。

我已经尝试过Boost库中的多精度数据类型，但是正如我提到的那样，进行多次计算会导致性能极慢。我也尝试使用OpenMP进行多线程，但是性能优势仍然太低。结果，我切换到计算二项式系数的对数以使数字保持较小。尽管这解决了很多问题，但是并没有加快处理过程。这就是为什么我尝试了对数二项式系数的斯特林近似。我当前的解决方案如下：

#include <math.h>

long double calc_hgeom(unsigned int k, unsigned int n, unsigned int K, unsigned int N)
{
    long double hprob = std::exp((log_C(K, k) + log_C(N-K, n-k)) - log_C(N, n));
    return hprob;
}

long double log_C(unsigned int u, unsigned int m)
{
    long double C = u * std::log(u) - m * std::log(m) - (u-m) * std::log(u-m)) + 0.5 * (std::log(u) - std::log(m) - std::log(u-m) - std::log(2*M_PI));
    return C;
}

但是，结果与实际值相差很大，最高可达7％。因此，我的问题是：是否有一种有效的方法来计算二项式系数的对数？或者可以改善我的近似值以提高准确性？

任何帮助将不胜感激，因为此计算是我整个算法的基础。

Answer 1

考虑R的选择功能...

> choose(10000, 5000) 
[1] Inf
> lchoose(10000, 5000)
[1] 6926.641

R语言的基本源存储库是解决此类问题的重要思路。

请参见https://github.com/wch/r-source/blob/trunk/src/nmath/choose.c

这里的诀窍是使用经过ln转换的输入，以避免溢出。

请注意，该代码已获得GNU许可。

Answer 2

您应将Sterling's approximation formula用作n！ ，应用于二项式系数，可以为您提供：

对于二项式系数本身和对数，

取等式右边的对数；大多数这些东西很快就会变得简单得多。您仍然有k！但是，对于大k来说，您将再次需要近似公式。最终，您将获得更多可行的功能（即，数字更稳定）。

如果这还不够好，也就是说，如果您仍然有一些条款互相抵消，可以考虑在其中一个变量上应用Taylor expansion。