Question

我一直认为numpy uses是一种pairwise-summation，可以确保float32的高精度-操作：

import numpy as np
N=17*10**6  # float32-precision no longer enough to hold the whole sum
print(np.ones((N,1),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [17000000.], kind of expected

但是，如果矩阵具有多列，则好像使用了不同的算法：

print(np.ones((N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] the error is just to big
print(np.ones((2*N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] error is bigger

可能sum天真地将所有值相加。表示16777216.f+1.0f=16777216.f，例如：

one = np.array([1.], np.float32)
print(np.array([16777215.], np.float32)+one)  # 16777216.
print(np.array([16777216.], np.float32)+one)  # 16777216. as well

为什么numpy不对多列使用逐对求和，并且可以强制numpy也对多列使用逐对求和？

我的numpy版本是1.14.2（如果有作用的话）。

Answer 1

我实际上没有任何解释，但似乎与内存布局有关。使用fortran顺序而不是默认的C顺序，可以获得所需的输出。

>>> np.ones((N,2),dtype=np.float32, order='C').sum(axis=0)
array([16777216., 16777216.], dtype=float32)

>>> np.ones((N,2),dtype=np.float32, order='F').sum(axis=0)
array([17000000., 17000000.], dtype=float32)

Answer 2

此行为是由于在减少操作期间numpy如何访问内存（“ add”仅是一种特殊情况）以提高缓存利用率的方式。

对于某些情况（如上述情况），可以强制执行成对求和，而不会对性能产生重大影响。但是总的来说，强制执行会导致大量的性能损失-使用双精度可能会更容易，这可以在大多数情况下缓解上述问题。

逐对求和可以看作是对“加”运算的非常具体的优化，如果满足一些约束（稍后会详细介绍），就可以完成。

求和（以及许多其他归约运算）受内存带宽限制。如果我们沿连续的轴求和，则使用寿命会很长：提取到索引Sceneform的高速缓存中的内存将直接重新用于索引为i，i+1的计算，...在使用之前从缓存中逐出。

情况有所不同，当求和不是沿着连续的轴进行时：为了添加一个float32元素，将16个float32提取到高速缓存中，但是其中的15个在被使用之前被逐出，必须将其取出。再次-真是浪费。

这就是为什么numpy在这种情况下按行进行求和的原因：将第一行和第二行相加，然后将第三行加到结果中，然后是第四行，依此类推。但是，成对求和仅用于一维求和，在这里不能使用。

在以下情况下执行成对求和：

i+2
sum

numpy尚未（尚未？）提供了一种在不对性能造成重大负面影响的情况下实施成对求和的方法。

我的收获：目标应该是沿连续轴进行求和，这不仅更精确，而且可能更快：

sum

在这种特殊情况下，如果连续只有2个元素，那么开销就太大了（另请参见here中解释的类似行为）。

可以做得更好，例如通过不精确的A=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="C") #non-contiguous %timeit A.sum(axis=0) # 326 ms ± 9.17 ms B=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="F") # contiguous %timeit B.sum(axis=0) # 15.6 ms ± 898 µs：

einsum

甚至：

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 74.5 ms ± 1.47 ms 
np.einsum("i...->...", A)
# array([16777216.,  16777216.], dtype=float32)

不仅与连续版本几乎一样快（两次加载内存的代价不像加载16次内存那样高），而且还很精确，因为%timeit np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32) # 17.8 ms ± 333 µs np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32) # array([17000000., 17000000.], dtype=float32)用于一维numpy数组。

对于更多列，对于numpy和einsum-way，与连续大小写的区别要小得多

sum

但是对于“精确”技巧而言，性能非常差，可能是因为延迟不再可以通过计算隐藏：

B=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="F")
%timeit B.sum(axis=0)
# 121 ms ± 3.66 ms 

A=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="C")
%timeit A.sum(axis=0)
# 457 ms ± 12.1 ms 

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 139 ms ± 651 µs per loop

以下是numpy实现的细节。

可以在FLOAT_add中定义here的代码中看到差异：

def do(A):
    N=A.shape[1]
    res=np.zeros(N, dtype=np.float32)
    for i in range(N):
        res[i]=A[:,i].sum()
    return res
%timeit do(A)
# 1.39 s ± 47.8 ms

曾经生成的内容如下：

#define IS_BINARY_REDUCE ((args[0] == args[2])\
    && (steps[0] == steps[2])\
    && (steps[0] == 0))

#define BINARY_REDUCE_LOOP(TYPE)\
   char *iop1 = args[0]; \
   TYPE io1 = *(TYPE *)iop1; \

/** (ip1, ip2) -> (op1) */
#define BINARY_LOOP\
    char *ip1 = args[0], *ip2 = args[1], *op1 = args[2];\
    npy_intp is1 = steps[0], is2 = steps[1], os1 = steps[2];\
    npy_intp n = dimensions[0];\
    npy_intp i;\
    for(i = 0; i < n; i++, ip1 += is1, ip2 += is2, op1 += os1)

/**begin repeat
* Float types
*  #type = npy_float, npy_double, npy_longdouble#
*  #TYPE = FLOAT, DOUBLE, LONGDOUBLE#
*  #c = f, , l#
*  #C = F, , L#
*/

/**begin repeat1
 * Arithmetic
 * # kind = add, subtract, multiply, divide#
 * # OP = +, -, *, /#
 * # PW = 1, 0, 0, 0#
 */
NPY_NO_EXPORT void
@TYPE@_@kind@(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func))
{
    if (IS_BINARY_REDUCE) {
#if @PW@
        @type@ * iop1 = (@type@ *)args[0];
        npy_intp n = dimensions[0];

        *iop1 @OP@= pairwise_sum_@TYPE@(args[1], n, steps[1]);
#else
        BINARY_REDUCE_LOOP(@type@) {
            io1 @OP@= *(@type@ *)ip2;
        }
        *((@type@ *)iop1) = io1;
#endif
    }
    else if (!run_binary_simd_@kind@_@TYPE@(args, dimensions, steps)) {
        BINARY_LOOP {
            const @type@ in1 = *(@type@ *)ip1;
            const @type@ in2 = *(@type@ *)ip2;
            *((@type@ *)op1) = in1 @OP@ in2;
        }
    }
}

NPY_NO_EXPORT void FLOAT_add(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func)) { if (IS_BINARY_REDUCE) { #if 1 npy_float * iop1 = (npy_float *)args[0]; npy_intp n = dimensions[0]; *iop1 += pairwise_sum_FLOAT((npy_float *)args[1], n, steps[1] / (npy_intp)sizeof(npy_float)); #else BINARY_REDUCE_LOOP(npy_float) { io1 += *(npy_float *)ip2; } *((npy_float *)iop1) = io1; #endif } else if (!run_binary_simd_add_FLOAT(args, dimensions, steps)) { BINARY_LOOP { const npy_float in1 = *(npy_float *)ip1; const npy_float in2 = *(npy_float *)ip2; *((npy_float *)op1) = in1 + in2; } } }可用于一维缩减，在这种情况下：

FLOAT_add是指向结果/初始值的指针（与args[0]相同）
args[2]是输入数组
args[1]和steps[0]是steps[2]，即指针指向标量。

，然后可以使用成对求和（用{{1}进行检查）。

在这种情况下，

0可用于添加两个向量：

IS_BINARY_REDUCE第一个输入数组
FLOAT_add第二个输入数组
args[0]输出数组
args[1]-对于上述数组，从数组中的一个元素到另一个元素。

参数args[2]仅用于求和steps-对于所有其他操作，不使用成对求和。

如何避免具有多列的numpy数组的精确度较低

2 个答案: