Question

我正在寻找一个旧的编码竞赛的解决方案，我想知道他们是如何找到这个解决方案的。

问题是这样的：计算numStart-numEnd范围内有多少个唯一数字可被给定质数列表中的至少一个质数除。

首先，我想“当然，让我们做一个遍历numStart-numEnd范围的for循环，并检查我是否可以将迭代器除以至少一个质数”，该方法有效，但是速度太慢。 ..那就是我决定检查答案的时候。

我的代码：

# numStart: Start from number
# numEnd: End on number
# numOfPrimes: How many primes will we be checking

numStart,numEnd,numOfPrimes = map(int, input().split())
primes = list(map(int, input().split()))

# Input can look like this:
# >21 180 4
# >7 3 13 2

counter = 0
for testNum in range(numStart, numEnd + 1):
    for prime in primes:
        if testNum % prime == 0:
            counter += 1
            break

print(counter)
# Output would look like this:
# >118

解决方案：

from itertools import combinations

# numStart: Start from number
# numEnd: End on number
# numOfPrimes: How many primes will we be checking

numStart,numEnd,numOfPrimes = map(int, input().split())
primes = list(map(int, input().split()))

# Input can look like this:
# >21 180 4
# >7 3 13 2

result = 0
for j in range(1,numOfPrimes+1):
    for c in combinations(primes, j):
        num = 1
        for x in c: num *= x
        result += (-1)**(len(c)+1) * (numEnd//num - (numStart-1)//num)

print(result)
# Output would look like this:
# >118

我的问题确实是这个人实际上是如何解决的？这是什么类型的数学，为什么起作用？

如果您至少可以带领我朝正确的方向前进，我将非常感激！

Answer 1

这是部分代码的简短摘要。

给定代码中有两个主要思想。第一个想法是，给定正整数num（不一定是素数），从numStart到numEnd被num整除的数字的计数是

numEnd//num - (numStart-1)//num

这是因为num从1到numStart的整数是(numStart-1)//num，而从1到numEnd的整数是{{1} }。（我会让您找出这些公式如何正确处理这些范围的最终值。）

这是第二个想法。该公式适用于给定列表中的每个素数。但是问题是要求计数范围内的数字可以被该列表中的“ 至少一个素数”整除。如果仅将每个素数的计数相加，我们将计算可被多个素数整除的次数。处理这些多个计数的标准方法是Inclusion–exclusion principle。如果您对这种问题感兴趣，则应该阅读该文章。代码行

numEnd//num

使for j in range(1,numOfPrimes+1): for c in combinations(primes, j):成为质数列表的非空子集。我上面给您的公式用于查找子集中素数的每个乘积的计数，并将因数c乘以进行正确的包含/排除。然后添加所有这些产品。如果您不理解最后一部分，请阅读包含-排除文章。我应该补充一点，基本数论告诉我们，当且仅当素数的乘积除以该数时，不同素数的成员集都对数进行除数-这就是问题中“素数”限制的原因。 / p> 关于人如何解决这个问题，计算机科学表明，没有确定方法来解决问题的算法。问题解决者只是利用他们的知识，经验，创造力和毅力来坚持下去，直到问题解决为止。乔治·波利亚（George Polya）的《 如何解决问题》（）是一本关于如何解决问题的经典著作。我向您强烈推荐这本书-平装且价格便宜。

如何找到解决任务的数学解决方案？

1 个答案: