如何通过NFA将自动机转换为正则表达式

Question

我需要通过将DFA（确定性有限自动机）转换为通用NFA（非确定性有限自动机），将此有限自动机转换为正则表达式。应该怎么做？ NFA和DFA的状态图是否相同？

Answer 1

因此，图片中有两个DFA，因此我将展示如何依次获取每个DFA的RE。首先，我们写下一些方程式：

(q1) = (q1)a + (q2)b + e
(q2) = (q1)b + (q2)a

现在我们可以在每个规则上使用规则(q) = (q)x + y <=> (q) = yx*

：

(q1) = ((q2)b + e)a*
(q2) = (q1)ba*

现在我们可以替代了，因为我们关心（q2），所以我们还是可以直接得到它：

(q2) = ((q2)b + e)a*ba*
     = (q2)ba*ba* + a*ba*
     = a*ba*(ba*ba*)*

我们得到的正则表达式a*ba*(ba*ba*)*一眼看上去是正确的。我们如何得到方程式？对于每个州，我们写下了“进入”该州的方式，并将其与+（或并集）组合在一起。我们将空字符串e包含在（q1）的方程式中，因为（q1）是初始状态，不需要消耗任何东西（初始）。

第二，等式如下：

(q1) = (q3)a + e
(q2) = (q1)(a + b) + (q2)a + (q3)b
(q3) = (q2)b

我们可以使用规则消除（q2）的自引用：

(q1) = (q3)a + e
(q2) = ((q1)(a + b) + (q3)b)a*
(q3) = (q2)b

现在，我们替换并再次使用该规则：

(q1) = (q3)a + e
(q2) = ((q1)(a + b) + (q3)b)a*
(q3) = ((q1)(a + b) + (q3)b)a*b
     = (q1)(a + b)a*b + (q3)ba*b
     = (q1)(a + b)a*b(ba*b)*

现在，我们再次替换并再次使用该规则：

(q1) = (q1)(a + b)a*b(ba*b)*a + e
     = e((a + b)a*b(ba*b)*a)*
     = ((a + b)a*b(ba*b)*a)*
(q2) = ((q1)(a + b) + (q3)b)a*
(q3) = (q1)(a + b)a*b(ba*b)*

我们现在可以代入以获取（q3）的表达式：

(q1) = ((a + b)a*b(ba*b)*a)*
(q2) = ((q1)(a + b) + (q3)b)a*
(q3) = ((a + b)a*b(ba*b)*a)*(a + b)a*b(ba*b)*

正则表达式将是（q1）和（q3）表达式的并集，因为它们是接受状态：

r = ((a + b)a*b(ba*b)*a)* + ((a + b)a*b(ba*b)*a)*(a + b)a*b(ba*b)*
  = ((a + b)a*b(ba*b)*a)*(e + (a + b)a*b(ba*b)*)

第一部分以各种可能的方式将您从状态q1带回到状态q1。第二部分说您可以留在q1或做其他事情，否则将导致q3。

Answer 2

维基百科参考了本课程的PDF：Second Part of Regular Expressions Equivalence with Finite Automata，并且根据本文档，该过程从此初始步骤开始：

  

通过以下过程将DFA转换为特殊形式的GNFA：

     

  
1. 从所有旧接受状态开始，将带有\ epsilon箭头的新开始状态添加到旧的开始状态，并使用\ epsilon箭头添加新的接受状态。
  

（重点是我的）

因此，NFA和DFA将不相同。这也说明了如何处理多个接受状态。

Answer 3

否，在转换过程中NFA和DFA的状态图将不相同。

第二个FSM正则表达式为-     εU（aUb）a b（bUa（aUb）a b）*（εUa）

您可以参考以下步骤-

这是一个例子- 这些是Michael Sipser的PDF版本的书中的屏幕截图-“计算理论简介”。