限制星形图之间的边数，使得图形是平面的

Question

我有一个图表 G ，它只包含星形图。星形图由一个中心节点组成，该节点具有到其中每个其他节点的边缘。设 H ₁ ，H ₂ ，...，H _n 是不同大小的不同星形图，它们存在于。我们将所有节点的集合称为任何星形图 R 中的中心。

现在假设这些星图正在构建其他星图的边缘，使得 R 中的任何节点之间没有边缘入射。那么，如果图形应该保持平面， R 中的节点和不在 R 中的节点之间最多存在多少条边？

我想要这些边缘数量的上限。我想到的一个上限是：将它们视为二分平面图，其中 R 是一组顶点，其余顶点形成另一组 A 。我们对这些集之间的边缘感兴趣（ R 和 A ）。由于它是平面二分，因此这些边的数量受到 G 中节点数量的两倍的限制。

我的感觉是有更好的界限，可能是 A 中节点的两倍加上 R 中的节点数。

如果你可以反驳我的直觉，那也会很好。希望你们中的一些人能够提出一个良好的约束以及一些相关的论点。

Answer 1

这是你能做的最好的事情。取任何平面图G并构造其面 - 顶点入射图H，其面都有4个边。设R是G的面的集合，并使用H中的边来构造恒星。这实现了二分平面图的界限。