寻找最小的电线连接

Question

问题

a 为您提供了大小为 a 的木板。板上有 n 个组件，这些组件必须以尽可能短的导线长度连接到板的边缘。
电线是直的，不能重叠。

找到算法以将这些组件连接到具有这些约束的边缘。

约束条件：

时间：1秒
空间：无限
1 <= a <= 30
1 <= n <= 38

示例：

Input:
4
3
2 1
2 3
3 3

Output:
5
DOWN
UP
UP

---

我已经尝试过的东西

我发现了一种递归，让我用上面提供的数据来说明这个想法。

我有一个n位掩码，其中第i个位置的extension Array where Element == Option { // No idea how to do this } 表示我们考虑了此组件，而1没有考虑。

当我开始递归时，我有n个：

           111
     /      |     \
   /        |      \
  011      101     110
 /   \    /  \    /   \
001 010  001 100 010 100

当我到达最低级别时，我只有一个0。我找到了针对这个简单问题的最佳解决方案（最简单的方法），然后将其用于进一步的计算。

但是，我有一个问题，这个最佳解决方案可能导致重叠。

Answer 1

就目前而言，我无法真正看到一种比branch and bound方法更好或更聪明的解决方案。它在某种程度上类似于您的建议，但没有多余的计算。
在这里，它被简单地描述为pythonic伪代码：

def BnB(grid, components):
    queue = new_priority_queue()  # classic priority queue
    empty_sol = [None for i in range(len(components))]  # we create an 'empty' solution
    queue.push((0, 0, empty_sol))  # we push an initial empty solution on the queue (a tuple total len, index, solution)
    best_length_so_far = infinite # we keep track of the best solution seen so far
    best_sol_so_far = None
    while not queue.is_empty():
        length, index, solution = queue.pop()
        if index == len(components):  # it is a feasible solution
            if best_len_so_far > length:
                best_len_so_far = length
                best_sol_so_far = solution
        elif length < best_len_so_far:
           #  check if components[index] can have its wire 'DOWN'
           if can_put_wire(grid, components, index, 'DOWN'):
               length_to_add = path_len(grid, component, index, 'DOWN')
               new_sol = copy(solution)
               new_sol[index] = 'DOWN'
               queue.push((length + length_to_add, index + 1, new_sol))
           # do the same thing for the other directions
           if can_put_wire(grid, components, index, 'UP'):
               ....
           if can_put_wire(grid, components, index, 'LEFT'):
               ....
           if can_put_wire(grid, components, index, 'RIGHT'):
               ....
return best_sol_so_far

对解决方案树的探索将取决于您如何在队列上设置优先级。选择要考虑的组件（而不是按照上面的代码中的顺序进行选择）也可能有助于更快地找到解决方案。 这将是无效的（时间复杂度随组件数量而变），但是可以找到解决方案。

另一种可能性是使用ILP（整数线性规划）来解决该问题。用线性约束可以很容易地描述它，并且可以享受LP解算器提供的所有优化。