什么是a ^ b和（a＆b）<< 1？

Question

我正在用leetcode执行此question。

请求：

  

计算两个整数a和b的总和，但不允许使用+和-运算符。

我不明白它提供的解决方案

有人可以解释此getSum函数的工作原理吗？

这是JS中的答案：

var getSum=function(a,b) {
    const Sum = a^b; //I can't understand how those two line's code can
    const carry = (a & b) << 1; //get the sum
        if(!carry) {
            return Sum
        }
    return getSum(Sum,carry);
};
console.log(getSum(5,1));

Answer 1

它基本上是在复制half-adder

将A和B的两个位相加会产生2个输出：和和进位如下所示

╔═══════╤═════════════╗
║ Input │   Output    ║
╠═══╤═══╪═══════╤═════╣
║ A │ B │ carry │ sum ║
╟───┼───┼───────┼─────╢
║ 0 │ 0 │   0   │  0  ║
╟───┼───┼───────┼─────╢
║ 1 │ 0 │   0   │  1  ║
╟───┼───┼───────┼─────╢
║ 0 │ 1 │   0   │  1  ║
╟───┼───┼───────┼─────╢
║ 1 │ 1 │   1   │  0  ║
╚═══╧═══╧═══════╧═════╝

从表中我们获得输出的逻辑：进位= A和B ， sum = A xor B

XOR也称为无进位加法运算符，由represented表示，其中带有+符号

所以上面的代码片段是这样工作的

const Sum=a^b;              // sum = a xor b = a ⊕ b
const carry=(a&b)<<1;       // carry = 2*(a and b), since we carry to the next bit
if(!carry){
    return Sum;             // no carry, so sum + carry = sum
}
return getSum(Sum,carry);   // a + b = sum + carry

因此a^b同时将a和b中的每一位相加，而在Sum中保留a和b的非进位和。然后，我们必须将进位加到无进位总和上，以得到最终结果，因为我们只有一个半加法器，而不是一个全加法器，它执行a + b = a⊕b +进位

另请参见

• Adding two numbers without + operator (Clarification)
• What is the best way to add two numbers without using the + operator?
• adds two numbers without using + or any arithmetic operators
• Adding two numbers without using the addition operator

Answer 2

让我们以身作则。想象一下a = 3和b = 5

以二进制表示法是a = 0011和b = 0101

异或： a^b是XOR运算符。比较两个位时，如果相同则返回0，如果不同则返回1。 01^10 => 11

因此，当我们执行a^b时，结果将是0110。

AND + SHIFT

a&b执行逻辑AND操作。仅在a = b = 1时返回1。

在我们的例子中，结果为0001

<<将其移动（在右侧添加0），结果变为0010，将carry变量设置为true。 （只有0000为假）。

下一次迭代：

一切重复，但是现在a = 0110和b = 0010（上次执行的Sum和carry）

现在a^b = 0100和(a&b)<<1 = 0100

再次重复。

现在a^b = 0000和(a&b)<<1 = 1000

再次。

现在a^b = 1000和(a&b)<<1 = 0000。现在carry最终是false。然后我们返回1000，它是十进制8。

自3+5=8以来一切正常

Answer 3

 int result = p ^ q; // XOR Operator, + without carry 0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=0
int carry = (p & q) << 1; // Left Shift, 1+1=2
if (carry != 0) {
    return getSum(result, carry);
}
return result;

从p = 5，q = 6开始。那么XOR就是

0101
0110
------
0011

因此，“异或”运算结果为（0011），实际上是十进制的3。然后，将p和q相加，得到

0101
0110
-------
0100

通过对5和6进行“与”运算，我们得到4（二进制数为100），现在，如果将该值左移1，我们将得到

 0100<<1=1000

因此，第一次递归后得到8（二进制数为1000）。由于结果（进位变量）不为零，请通过异或值和进位值再次递归。

getSum(3, 8);

因此，进行第一个XOR运算，

0011
1000
-------
1011

这次的异或运算产生11（1011二进制），所以我们现在执行AND，

0011
1000
-------
0000

我们得到与3和8的所有零值，因此这一次左移运算符也将产生零值，因为这里没有1，可能会通过左舍入零来给我们一个值。 由于进位变量现在为零，因此我们进行了递归操作，并且XORed值将为Sum，即11（二进制为1011）。

希望您可以执行该程序。您可以通过学习按位运算来了解更多信息，这是机器进行算术运算的方式。

Answer 4

^是XOR，按位运算。在单个位上，规则是0 ^ 0 = 0，0 ^ 1 = 1，1 ^ 0 = 0和1 ^ 1 = 0，在处理多位值时，只需扩展对相应位的执行即可。该名称是“ exclusive or”的缩写，它来自于以下事实：A ^ B是1，当且仅当A或B中的任何一个为1时，两者都不是。但是，谈论它的另一个名称⊕更有趣。 ⊕是+，但略有不同。您会注意到⊕的规则与加法规则相似：0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1和1 + 1 = 10。 {是+，1 ⊕ 1 = 0除外；也就是说，⊕是+，除非没有携带。这适用于多个位：011 + 001 = 100，因为您将1移出了四位，然后又将1移到了四位。然后，011 ⊕ 001 = 010，因为您根本不携带。

现在，当进行真正的加法时，什么时候携带？用二进制表示，答案很简单：给定位置有两个1时，将1带到下一个位置。这很容易理解为按位与&。 1 & 1 = 1，否则0。对于011 + 001，不带加法的加法会得到011 ⊕ 001 = 010，我们可以知道我们需要将1移出那个位置，因为011 & 001 = 001。 (a & b) << 1中的移位变成一个数字“我需要从哪里携带？”放入“我需要在何处添加进位？”：(011 & 001) << 1 = 010;我需要在两个位置加一个进位。

因此，在getSum中，我们想知道a + b。我们不用加a ^ b就可以算出加法，然后找到需要用(a & b) << 1加进位的地方。现在，我们只需要将这两个加在一起即可。好了，我们已经有了一个将数字加在一起的功能；它称为getSum。因此，我们基本上只写了function getSum(a, b) { return getSum(a ^ b, (a & b) << 1); }，除了在没有东西要携带的情况下确保短路之外，这使我们免于无限递归。