平方（x ^ 2）逼近的神经网络

Question

我是TensorFlow和数据科学的新手。我做了一个简单的模块，应该弄清楚输入和输出数字之间的关系。在这种情况下，x和x平方。 Python中的代码：

import numpy as np
import tensorflow as tf

# TensorFlow only log error messages.
tf.logging.set_verbosity(tf.logging.ERROR)

features = np.array([-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
                    9, 10], dtype = float)
labels = np.array([100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
                    81, 100], dtype = float)

model = tf.keras.Sequential([
    tf.keras.layers.Dense(units = 1, input_shape = [1])
])

model.compile(loss = "mean_squared_error", optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(0.0001))
model.fit(features, labels, epochs = 50000, verbose = False)
print(model.predict([4, 11, 20]))

我尝试了不同数量的单位，并添加了更多层，甚至使用了relu激活功能，但结果始终是错误的。 它可以与其他关系（例如x和2x）一起使用。 这是什么问题？

Answer 1

问题在于x*x是与a*x完全不同的野兽。

请注意通常的“神经网络”的作用：它堆叠y = f(W*x + b)几次，而不会与其自身相乘x。因此，您将永远无法完美重构x*x。除非您设置f(x) = x*x或类似的内容。

您可以得到的是训练期间显示的值范围的近似值（也许是一点点外推）。无论如何，我建议您使用较小的值范围，这将更容易优化问题。

还有一个哲学上的注释：在机器学习中，我认为思考好/不好而不是正确/错误是有用的。尤其是对于回归，除非您拥有精确的模型，否则您将无法获得“正确”的结果。在这种情况下，没有什么可学的。

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实际上有一些NN体系结构将f(x)与g(x)相乘，最著名的是LSTMs和Highway networks。但是，即使这些对象受f(x)，g(s)约束（由逻辑S形或tanh约束）中的一个或两个，因此也无法完全建模x*x。

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由于评论中表达了一些误解，所以让我强调几点：

1. 您可以近似您的数据。
2. 要在任何意义上都表现出色，您确实需要一个隐藏层。
3. 但是不需要更多数据，尽管如果您覆盖该空间，则该模型将更紧密地拟合，请参见desernaut's answer。

作为示例，这是一个模型的结果，该模型具有10个具有tanh激活的单层隐藏层，该模型由SGD用学习速率1e-3进行15k迭代训练，以最小化数据的MSE。五次最佳：

这是再现结果的完整代码。不幸的是，我无法在当前环境中安装Keras / TF，但希望PyTorch代码可访问：-）

#!/usr/bin/env python
import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt

X = torch.tensor([range(-10,11)]).float().view(-1, 1)
Y = X*X

model = nn.Sequential(
    nn.Linear(1, 10),
    nn.Tanh(),
    nn.Linear(10, 1)
)

optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=1e-3)
loss_func = nn.MSELoss()
for _ in range(15000):
    optimizer.zero_grad()
    pred = model(X)
    loss = loss_func(pred, Y)
    loss.backward()
    optimizer.step()

x = torch.linspace(-12, 12, steps=200).view(-1, 1)
y = model(x)
f = x*x

plt.plot(x.detach().view(-1).numpy(), y.detach().view(-1).numpy(), 'r.', linestyle='None')
plt.plot(x.detach().view(-1).numpy(), f.detach().view(-1).numpy(), 'b')
plt.show()

Answer 2

您犯了两个非常基本的错误：

• 您的超简单模型（具有单个单元的单层网络）根本不符合神经网络的条件，更不用说“深度学习”模型了（因为您的问题已被标记）
• 类似地，您的数据集（只有20个样本）也非常小

当然可以理解，神经网络要解决问题就必须具有某种复杂性，即使它们像x*x一样简单。而当它们充满了大型训练数据集时，它们真正发挥作用的地方。

尝试求解此类函数逼近的方法不仅是列出（很少）可能的输入，然后将其与所需的输出一起输入模型中；请记住，NN是通过示例而不是通过符号推理来学习的。例子越多越好。在类似情况下，我们通常要做的是生成大量示例，然后将它们提供给模型进行训练。

已经说过，这是Keras中一个三层神经网络的简单演示，它使用x*x中生成的10,000个随机数作为输入来逼近函数[-50, 50]：

import numpy as np
import keras
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.optimizers import Adam
from keras import regularizers
import matplotlib.pyplot as plt

model = Sequential()
model.add(Dense(8, activation='relu', kernel_regularizer=regularizers.l2(0.001), input_shape = (1,)))
model.add(Dense(8, activation='relu', kernel_regularizer=regularizers.l2(0.001)))
model.add(Dense(1))

model.compile(optimizer=Adam(),loss='mse')

# generate 10,000 random numbers in [-50, 50], along with their squares
x = np.random.random((10000,1))*100-50
y = x**2

# fit the model, keeping 2,000 samples as validation set
hist = model.fit(x,y,validation_split=0.2,
             epochs= 15000,
             batch_size=256)

# check some predictions:
print(model.predict([4, -4, 11, 20, 8, -5]))
# result:
[[ 16.633354]
 [ 15.031291]
 [121.26833 ]
 [397.78638 ]
 [ 65.70035 ]
 [ 27.040245]]

嗯，还不错！请记住，NN是函数逼近器：我们不应该期望它们既不能精确地再现函数关系，也不能“知道” 4和{{1 }}应该相同。

让我们在-4中生成一些新的随机数据（记住，出于所有实际目的，这些都是该模型的 unemeen 数据），并将它们与原始数据一起绘制以得到更一般的图片：

[-50,50]

结果：

嗯，可以说确实确实是一个很好的近似...

您也可以查看this thread来得到正弦近似值。

最后要记住的一点是，尽管即使使用相对简单的模型也能获得不错的近似值，但我们不应该期望的是外推。在plt.figure(figsize=(14,5)) plt.subplot(1,2,1) p = np.random.random((1000,1))*100-50 # new random data in [-50, 50] plt.plot(p,model.predict(p), '.') plt.xlabel('x') plt.ylabel('prediction') plt.title('Predictions on NEW data in [-50,50]') plt.subplot(1,2,2) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.plot(x,y,'.') plt.title('Original data') 之外表现出色；有关详细信息，请参见我在Is deep learning bad at fitting simple non linear functions outside training scope?

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