每个节点都有平衡的BST保持子树大小吗？

Question

是否有一个<div class="contain"> <h3 id="red">0</h3> <h3 id="green">0</h3> <h3 id="blue">0</h3> <button onClick="player_one.addResource(4,'green')">Add Green</button> <button onClick="player_one.addResource(3,'red')">Add Red</button> <button onClick="player_one.addResource(7,'blue')">Add Blue</button> </div>结构还可以跟踪每个节点中子树的大小？

在balanced BST中，Java是一棵红黑树，但没有在每个节点中提供子树大小。

以前，我确实写过一些BST，可以保持每个节点的子树大小，但是它不平衡。

问题是：

• 是否可以实现这样的树，同时保持（对于基本操作，TreeMap的效率）？
• 如果是，那么是否有任何第三方库提供这样的提示？
  O(lg(n))的隐喻很棒，但其他语言（例如Java，c）也将有所帮助。

顺便说一句：

• 在每个节点中都应跟踪子树大小。
  这样就可以在不遍历子树的情况下获得大小。

可能的应用：

• 保持项目等级的跟踪，其值（等级所依赖的）可能会随时更改。

Answer 1

例如，AVL树通过完美地平衡，隐含地知道每个子树中有多少个节点，只要它跟踪节点的总数-节点之间的大小差即可。左右子树最多可以是一个元素。每个节点都有一个余额字段，该字段可以是-1、0或1之一，分别表示左侧较大，两者相等或右侧较大。 （或者也许我倒退了，我现在还不确定（小点）。）

无论如何-例如，如果您有一棵具有101个元素的AVL树，您已经知道两个子树每个都有50个元素（因为树是平衡的）-（即101个元素减去子树的根）元素，一分为二）。在下一级别，总共有50个元素，一个子树将有25个元素，其他24个（再加上子树的根中的一个）。余额字段指示哪一个。

此原理一直适用于叶子。

Answer 2

Weight Balanced Tree（也称为亚当斯树，即Bounded Balance树）在每个节点中保持子树的大小。

这也使从log或n的时间开始或结束查找第N个元素成为可能。

我的implementation in Nim is on github。它具有以下属性：

• 通用（参数化）键，值映射图
• 在O（log（N））时间内插入（添加），查找（获取）和删除（del）
• 键排序的迭代器（顺序和修订）
• 在O（log（N））时间开始或结束（getNth）的相对位置进行查找
• 通过输入O（log（N））时间获取位置（排名）
• 使用树键进行有效的设置操作
• 映射扩展以使用可选的值合并控件来设置重复项操作

Scheme和Haskell中也有可用的实现。

Answer 3

这被称为“订单统计树”：https://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic_tree

将大小添加到任何类型的平衡二叉树（红黑，avl，b树等）非常容易，或者您可以使用直接与该大小配合使用的平衡算法，例如权重平衡树（@DougCurrie回答）或（更好）大小平衡的树：https://cs.wmich.edu/gupta/teaching/cs4310/lectureNotes_cs4310/Size%20Balanced%20Tree%20-%20PEGWiki%20sourceMayNotBeFullyAuthentic%20but%20description%20ok.pdf

不幸的是，我认为没有任何标准库实现，但是如果您要寻找开源的话，您可以找到它。您可能需要自己动手。