高精度数字numpy.fft.fft的异常行为

Question

我有以下代码...请注意＃下的两行生成正弦曲线。一个使用2pi的精度要比另一个使用更高的精度，尽管如此，它们仍应给出几乎相同的结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


t1 = np.arange(0., 1., .01)

# generate sine curve
y1 = np.sin(6.28318*5.*t1)  
#y1 = np.sin(6.283185307179586*5.*t1) # equivalent to np.sin(2*np.pi*t1)

# calculate the fft (no averaging!) of the time series
ffty = np.fft.fft(y1)

fig, ax_list = plt.subplots(3,1)
ax_list[0].plot(t1,y1, '.-')

ax_list[1].plot(ffty.real, '.-', label='Real Part')
ax_list[1].legend()

ax_list[2].plot(ffty.imag, '.-', label='Imag Part')
ax_list[2].legend()


plt.show()

如果以较低的精度6.28318运行代码，则会得到fft的预期结果...

但是，如果您以较高的精度6.283185307179586（等于2. * numpy.pi）运行代码，则会在下面得到意外的结果...实际部分完全错误...振幅相差甚远，它不是对称的，没有任何意义。

我不知道是什么原因造成的。有人有什么想法吗？

Answer 1

这是完全预期的行为。计算机使用浮点计算，这本来就不精确。

请注意实际结果的y轴。如果不存在数值误差，则实数部分将等于0。使用​​“更高的精度”结果，实数部分几乎等于0（1e-14非常接近于双精度浮点数的精度）。精度较低时，实部会变得更大（尽管比虚部还大得多，小得多）。由于数量较大，因此结构也更多（即错误不是由舍入误差引起的，而是由输入数据的实际特征决定的，周期短于理想值）。

Answer 2

正如@Cris Luengo所说，您需要查看y轴的比例才能准确比较两个图。进行此操作的另一种方法是，将要尝试比较的所有内容都绘制在同一图上，如下所示。

使用对数标度来显示FFT的大小，并且很明显，使用pi的较少有效数字确实会导致精度降低。 正如使用浮点数时所预期的那样，大多数值并不完全为零，但是使用更高的有效数字可以使幅度提高许多数量级，当分别绘制FFT时，这并不能立即看出。

使用的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


t1 = np.arange(0., 1., .01)

values = {
'low':6.28318,
'higher':6.283185307179586,
'highest':2*numpy.pi,
}
styles = {
'low':'-',
'higher':'-',
'highest':'.-'
}

fig, ax_list = plt.subplots(3,1)
for name, tau in values.items():
    y1 = np.sin(tau*5.*t1)
    ffty = np.fft.fft(y1)

    ax_list[0].plot(t1,y1, styles[name], label=name)
    ax_list[1].plot(abs(ffty.real), styles[name],label=name)
    ax_list[2].plot(abs(ffty.imag), styles[name], label=name)

[ax.legend() for ax in ax_list]
ax_list[0].set_title('time domain')
ax_list[1].set_title('real part')
ax_list[2].set_title('imaginary part')
ax_list[1].set_yscale('log')
ax_list[2].set_yscale('log')
plt.draw()