Question

对称函数的梯度在所有维度上都应具有相同的导数。 numpy.gradient提供了不同的组件。

这是MWE。

import numpy as np
x = (-1,0,1)
y = (-1,0,1)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
f = 1/(X*X + Y*Y +1.0)

print(f)
>> [[0.33333333 0.5        0.33333333]
   [0.5        1.         0.5       ]
   [0.33333333 0.5        0.33333333]]

这在两个维度上都具有相同的值。

但是np.gradient(f)给出

[array([[ 0.16666667,  0.5       ,  0.16666667],
    [ 0.        ,  0.        ,  0.        ],
    [-0.16666667, -0.5       , -0.16666667]]),

 array([[ 0.16666667,  0.        , -0.16666667],
    [ 0.5       ,  0.        , -0.5       ],
    [ 0.16666667,  0.        , -0.16666667]])]

梯度的两个分量都不同。

为什么呢？在解释输出时我缺少什么？

Answer 1

让我们逐步完成此步骤。所以首先，正如喵喵狗正确提到的 numpy计算一个方向上的导数。

Numpy计算梯度的方法

请务必注意，np.gradient使用中心差表示（为简单起见，我们只看一个方向）：

grad_f[i] = (f[i+1] - f[i])/2 + (f[i] - f[i-1])/2 =  (f[i+1] - f[i-1])/2

numpy在边界处进行计算（以min为例）

grad_f[min] = f[min+1] - f[min]
grad_f[max] = f[max] - f[max-1]

在您的情况下，边界为0和2。

2D情况

如果使用多个维度，则需要考虑导数的方向。 np.gradient计算所有可能方向上的导数。让我们重现您的结果：

让我们沿着列移动，所以我们用行向量

进行计算

f[1,:] - f[0,:]

输出

array([0.16666667, 0.5       , 0.16666667])

恰好是渐变的第一个元素的第一行。

该行是使用居中导数计算的，因此：

(f[2,:]-f[1,:])/2 + (f[1,:]-f[0,:])/2

输出

array([0., 0., 0.])

第三行：

f[2,:] - f[1,:]

输出

array([-0.16666667, -0.5       , -0.16666667])

对于另一个方向，只需交换:和数字，并记住您现在正在计算列向量。在对称函数的情况下（如您的情况），这直接导致转置导数。

3D情况

x_ = (-1,0,4)
y_ = (-3,0,1)
z_ = (-1,0,12)

x, y, z = np.meshgrid(x_, y_, z_, indexing='ij')
f = 1/(x**2 + y**2 + z**2 + 1)
np.gradient(f)[1]

输出

array([[[ *2.50000000e-01,  4.09090909e-01,  3.97702165e-04*],
        [ 8.33333333e-02,  1.21212121e-01,  1.75554093e-04],
        [-8.33333333e-02, -1.66666667e-01, -4.65939801e-05]],

       [[ **4.09090909e-01,  9.00000000e-01,  4.03045231e-04**],
        [ 1.21212121e-01,  2.00000000e-01,  1.77904287e-04],
        [-1.66666667e-01, -5.00000000e-01, -4.72366556e-05]],

       [[ ***1.85185185e-02,  2.03619910e-02,  3.28827183e-04***],
        [ 7.79727096e-03,  8.54700855e-03,  1.45243282e-04],
        [-2.92397661e-03, -3.26797386e-03, -3.83406181e-05]]])

此处给出的梯度是沿着行计算的（0沿着矩阵，1沿着行，2沿着列）。

这可以通过

计算

(f[:,1,:] - f[:,0,:])

输出

array([[*2.50000000e-01, 4.09090909e-01, 3.97702165e-04*],
       [**4.09090909e-01, 9.00000000e-01, 4.03045231e-04**],
       [***1.85185185e-02, 2.03619910e-02, 3.28827183e-04***]])

我添加了星号，以便可以清楚地在哪里找到相应的行向量。由于我们计算了方向1上的梯度，因此我们必须查找行向量。

如果要复制整个渐变，可以通过以下方式完成

np.stack(((f[:,1,:] - f[:,0,:]), (f[:,2,:] - f[:,0,:])/2, (f[:,2,:] - f[:,1,:])), axis=1)

n-dim案件

我们可以概括我们在这里学到的东西，以计算沿方向的任意函数的梯度。

def grad_along_axis(f, ax):
    f_grad_ind = []
    for i in range(f.shape[ax]):
        if i == 0:
            f_grad_ind.append(np.take(f, i+1, ax) - np.take(f, i, ax))
        elif i == f.shape[ax] -1:
            f_grad_ind.append(np.take(f, i, ax) - np.take(f, i-1, ax))
        else:
            f_grad_ind.append((np.take(f, i+1, ax) - np.take(f, i-1, ax))/2)
    f_grad = np.stack(f_grad_ind, axis=ax)
    return f_grad

其中

np.take(f, i, ax) = f[:,...,i,...,:]

和i位于索引ax。

Answer 2

通常梯度和雅可比是函数上的运算符

Id，您需要f = 1/(X*X + Y*Y +1.0)的梯度，然后必须进行符号计算。或使用使用该函数的数值方法对其进行估算。

我不知道恒定3d数组的梯度是多少。 numpy.gradient是一维的概念。

Python具有sympy软件包，可以自动以符号方式计算jacobian。

如果用second order derivative of a scalar 3d field表示拉普拉斯算子，则可以使用标准的4点模版进行估算。

对称函数的numpy.gradient的组件不同

2 个答案:

Numpy计算梯度的方法

2D情况

3D情况

n-dim案件