Question

我在3D对象的表面上有一组随机采样点。我希望能够计算两个不同对象之间的相似性。为了做到这一点，我首先要确保我要比较的两个对象的样本点具有相同的旋转和比例。我想我可以通过沿x / y / z轴定向主分量轴，并进行缩放使得最长主成分具有单位长度来实现这一点。

我首先计算点集的质心，并翻译所有点，使原点成为新的质心。

我使用CGAL linear_least_squares_fitting_3函数进行主成分分析，该函数通过点给出最佳拟合平面。我通过取两个基矢量的叉积来计算这个平面的法线：

Plane plane;
linear_least_squares_fitting_3(points.begin(), points.end(), 
    plane, CGAL::Dimension_tag<0>());

auto dir1 = dir2vec(plane.base1().direction());
auto dir2 = dir2vec(plane.base2().direction());
auto normal = dir1 ^ dir2; // cross product
normal.normalize(); dir1.normalize(); dir2.normalize();

dir2vec函数将CGAL::Direction_3对象转换为等效的osg::Vec3d对象（我正在使用OpenSceneGraph图形引擎）。最后，我使用以下代码将所有内容旋转到单位轴：

Matrixd r1, r2, r3;
r1.makeRotate(normal, Vec3d(1,0,0));
r2.makeRotate(dir1 * r1, Vec3d(0,1,0));
r3.makeRotate(dir2 * r1 * r2, Vec3d(0,0,1));
auto rotate = [&](Vec3d const &p) {
    return p * r1 * r2 * r3;
};
transform(osgPoints.begin(), osgPoints.end(), osgPoints.begin(), rotate);

此处osgPoints是vector<osg::Vec3d>。出于测试目的，我将旋转点的质心转换回原始位置，因此两个点云都不会重叠。

Vec3d center = point2vec(centroid);
auto tocentroid = [&](Vec3d const &v) {
    return v + center;
};
transform(osgPoints.begin(), osgPoints.end(), osgPoints.begin(), tocentroid);

为了测试它，我使用相同点集的两个副本，但是一个被转换（旋转和翻译）。上面的代码应该撤消旋转，但结果不是我所期望的：见this image。红线表示最佳拟合平面的基矢量及其法线。看起来两次调用linear_least_squares_fitting_3的结果给出了稍微不同的答案，因为其中一个平面相对于另一个平面旋转了一点。

Here is another图像，其中两个对象的原点位于其原点。现在可以清楚地看到法线和基本向量一起出现，但这些点没有。

有人知道为什么会这样吗，我怎么能阻止它？

Answer 1

将平面拟合到一组点会使一个自由度不受约束。飞机可以绕其法线自由旋转，拟合相等。我对CGAL一无所知，但我发现他们只是找到一个方便的平面（可能是距离空间原始轴最近的投影），我不会感到惊讶。

如果你在点云上做了真正的PCA，我认为你没有那个问题。或者，您可以沿着拟合算法发现的法线重新缩放（拉伸）数据，然后找到另一个拟合。如果您将数据充分拉伸，那么找到的第一个平面不应该像某个正交平面那样合适。

Answer 2

正如JCooper建议的那样，CGAL似乎并没有计算所有主成分。我切换到ALGLIB库来做PCA，现在它可以正常工作。

使用CGAL的主成分分析点云对齐

2 个答案: