确定性傅立叶反卷积

Question

使用numpy进行傅里叶反卷积时遇到了一些麻烦。我目前正在以3个高斯人的测试用例进行尝试，所以我确切地知道在每一端都有什么期望。

我要恢复的是给定滤波器和输出的确切形式的输入信号。

在这里，我使用了幼稚的约束来抑制将其设置为零的高频端（因为信号在傅立叶空间中也都是高斯分布）。由于这种限制，我希望能以很小的振铃恢复我的原始输入。

#Dummy Case for Gaussian convolve with Gaussian

N = 128
x = np.arange(-5, 5, 10./(2 * N))
epsilon = 1e-18

def gaus(x,sigma):
    return 1./np.sqrt(2*np.pi)/sigma * np.exp(-(x * x)/(2 * sigma**2))

y_g = gaus(x,0.3)     #output gaussian blurred signal
y_b = gaus(x,0.1)     #gaussian blur filter
y_i = gaus(x,np.sqrt(0.3**2 - 0.1**2))   #og gaussian input

f_yg = np.fft.fft(y_g)    #fft the blur
f_yb = np.fft.fft(y_b)    #fft the filter
f_yi = np.fft.fft(y_i)

r_f = (np.fft.fftshift(f_yg)+epsilon)/(np.fft.fftshift(f_yb)+epsilon)      #deconvolve by division in fourier space
r_f[np.abs(x)>0.5] = 0    #naive constraint to remove the artifacts by knowing final form is gaussian

r_f = np.fft.ifftshift(r_f)

r_if = np.fft.ifft(r_f)
y_gf = np.fft.ifft(f_yg)
y_bf = np.fft.ifft(f_yb)
y_if = np.fft.ifft(f_yi)

plt.plot(x,y_if, label='fft true input')
plt.plot(x,r_if, label='fft recv. input')
plt.legend(framealpha=0.)
plt.show()

这里的橙色是使用输出的去卷积和模糊处理恢复的输入信号。

我对此有一些疑问：

1. 显然存在扩展问题。我可以认为这可能会出现的唯一领域是当我应用幼稚的约束时。我是否应该在此步骤中重新归一化，知道我的傅立叶空间上的1 / sqrt（N）*积分等于1？
2. 看起来恢复的高斯的位置被曲线两侧的一半曲线弄乱了。这是由于傅立叶空间的分裂造成的吗？如何恢复原来的位置（或者一开始我完全做错了此事）

我已经附加了用于生成两条曲线的脚本，即物理空间中的原始输入和恢复的输入。

干杯， 凯文

编辑：我应该补充一点，使用scipy.deconvolve +一些小的编辑即可恢复图像。这一定意味着我的方法在某种程度上是错误的？

Answer 1

1）如您所正确理解的那样，缩放的要求与离散傅立叶变换有关。最好的方法是计算两个统一单位信号的反卷积。它们的DFT为n 0 0 0 ....，其中n是DFT的点数。因此，比率r_f为1 0 0 0 0，由np.fft.ifft()计算的后向fft为1 / n 1 / n 1 / n ... 反卷积产生的正确信号应为1 / T 1 / T 1 / T ...，其中T = 10。是帧的长度。

因此，执行反卷积的正确缩放比例为n/T= len(r_f)/10.

r_if=r_if*len(r_if)/10.

2）去卷积信号被转换半个周期。这是由于高斯核位于帧中间的事实。只需将内核移动半个周期即可解决问题。函数np.fft.fftshift()可以用于此目的：

f_yb = np.fft.fft(np.fft.fftshift(y_b))    #fft the filter

编辑：要研究翻译的原因，让我们集中讨论反卷积核是非常窄的高斯分布，几乎对应于Dirac分布的情况。您的输入信号是一个高斯曲线，以零为中心，该帧在-5和5之间采样。类似地，反卷积核是一个以零为中心的Dirac。结果，去卷积信号必须与输入信号相同：以零为中心的高斯曲线。尽管如此，在FFTW中实现的DFT并因此np.fft.fft() is computed as that of a frame starting at 0 and ending at 10在点10j / n处采样，其中j在[0..n-1]中，傅立叶空间中的频率为k / 10其中k在[0..n / 2，-n / 2 + 1 ..- 1]中。因此，此DFT会将您的信号视为以5为中心的高斯信号，并将反卷积内核视为以5为中心的Dirac。将函数f（t）与以t0为中心的Dirac delta（t-t0）进行卷积就是转换函数f（t-t0）。因此，由np.fft.fft()计算的去卷积的结果是输入信号转换了半个周期。由于在[-5,5]帧中输入信号以0为中心，因此np.fft.fft()计算的输出信号以-5为中心（或由于周期性而等效为5）。 转移内核可以解决我们认为帧为[-5 5]和np.fft.ifft()就像处理[0 10]时的不匹配问题。

滤波器通常被设计用来减少高频噪声的影响。因此对卷积进行去卷积会引起高频噪声的潜在放大。像您一样筛选频率是一个潜在的解决方案。注意，这完全等效于使用特定的滤波器对信号进行卷积！

在断层图像重建的范围内，滤波后的反投影算法需要应用斜坡滤波器，从而大幅增加高频噪声。 Here被提议为Wiener filter：在给定卷积信号的SNR的情况下，可以将这种滤波器设计为最小化去卷积信号的均方误差。但是，它需要对信号和噪声的功率谱密度进行一些假设。