我对时间复杂度在对称矩阵上进行迭代感到好奇。
我知道对于标准矩阵（二维数组），复杂度为O（Nˆ2）。但是，对于对称矩阵，我们仅对遍历其上三角部分而不是对其所有元素进行遍历。
这是迭代对称矩阵的常用算法：
for(int i=0; i < symmetricM.length; i++)
for(int j=i; j < symmetricM.length; j++ )
System.out.println("Elem: "+symmetricM[i][j]);
如果可能的话，我想对任何对称的多维数组扩展相同的推理。
我无法自行计算，但是由于这种方法解决了许多问题，因此我希望在复杂性方面感到满意。
谢谢。
答案 0 :(得分：2)
让我们看一下我们在对称二维数组中迭代的元素数量，由于大小为n^2/2并且有n个维度，所以它是2，因此我们提高了幂取2并除以2仅得到元素的一半。 O(n^2)。
现在，让我们看一下在对称3维数组中迭代的元素数量。是n^3/6。您可以得出结论，以同样的方式计算volume of a 3 dimensional triangle，因为所有数字均位于此三角形区域。即使我们除以3，时间复杂度仍为O(n^3)。
对于4维，它将是n^4/(4*3*2)，即O(n^4)。但是对于m维，它将是n^m/m!，并且由于该维是参数，因此根据此方法，时间复杂度将为O(n^m/m!)。
另一种计算方法是，如果删除该尺寸的对角线，则在没有重复元素且所有元素都不相同的情况下，要迭代的项的索引与组合相同。我们知道该组合的数量为n!/m!(n-m)!或n choose m，所以这也可能是时间复杂度。
根据大多数factorial approximations，最大元素是n^n，因此当使用这些近似值并忽略较小的因素时，时间复杂度保持不变，因为：
n!/m!(n-m)! ≈ n^n/m!(n-m)^(n-m) > n^n/m!n^(n-m) = n^m/m!。
因此最终时间复杂度将为O(n^m/m!)。