Question

当我意识到 sweep 命令无法按我预期的方式工作时，我试图使用FiPy解决一组PDE。这里是带有部分代码的示例：

from pylab import *
import sys
from fipy import *

viscosity = 5.55555555556e-06 

Pe =5.

pfi=100.
lfi=0.01

Ly=1.
Nx =200
Ny=100
Lx=Ly*Nx/Ny
dL=Ly/Ny
mesh = PeriodicGrid2DTopBottom(nx=Nx, ny=Ny, dx=dL, dy=dL)

x, y = mesh.cellCenters

xVelocity = CellVariable(mesh=mesh, hasOld=True,  name='X velocity')

xVelocity.constrain(Pe, mesh.facesLeft)
xVelocity.constrain(Pe, mesh.facesRight)

rad=0.1

var1 = DistanceVariable(name='distance to center', mesh=mesh, value=numerix.sqrt((x-Nx*dL/2.)**2+(y-Ny*dL/2.)**2))

pi_fi= CellVariable(mesh=mesh, value=0.,name='Fluid-interface energy map')
pi_fi.setValue(pfi*exp(-1.*(var1-rad)/lfi), where=(var1 > rad) )
pi_fi.setValue(pfi, where=(var1 <= rad))

xVelocityEq = DiffusionTerm(coeff=viscosity) - ImplicitSourceTerm(pi_fi)

xres=10.
while (xres > 1.e-6) :
        xVelocity.updateOld()
        mySolver = LinearGMRESSolver(iterations=1000,tolerance=1.e-6)
        xres = xVelocityEq.sweep(var=xVelocity,solver=mySolver)
        print 'Result = ', xres
#Thats it

简而言之，我要声明一个名为 xVelocityEq 的函数，并使用 sweep 对其进行求解。这是我的输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  6.414470433257661e-07

如您所见，while循环在两次迭代后结束。我的第一个问题是：为什么我的第一个残差（= 0.0007856742013190237）高于求解器的公差？我以为，因为 xVelocityEq 对应于线性系统，所以求解器公差和残余误差将表示同一件事。

如果我增加编号。在 mySolver 中从1000到10000的迭代次数，我得到以下输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  2.4619110931978988e-09

为什么第二个残差发生变化，因为第一个残差保持不变？

如果将 mySolver 中的容差从1.e-6增加到7.e-4，则会得到以下输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  6.414470433257661e-07

请注意，这些残差与第一个输出中的相同。现在，如果我尝试将公差进一步提高到8.e-4，这是我得到的输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
...

这时我完全迷路了。 为什么对于所有小于7.e-4的求解器公差，残差具有相同的值？以及为什么对于求解器公差高于7.e-4的情况，这些残差恒定且等于0.0007856742013190237？

如果我将mySolver更改为 LinearLUSolver （迭代次数= 1000，公差= 1.e-6），这就是我得到的：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  1.6772757200988522e-18

即使更改了求解器，为什么我的第一个残差与以前一样？

Answer 1

为什么我的第一个残差（= 0.0007856742013190237）高于求解器的公差？

由.sweep()计算的残差是在调用求解器以计算新的求解矢量之前进行计算的。矩阵 L 和右侧矢量 b 是根据解矢量 x 的初始值计算的。

残差用于衡量当前解矢量满足非线性 PDE的程度。求解器公差限制了求解器满足PDE离散化的 linear 方程组的工作难度。

即使PDE是线性的（例如，扩散系数不是解变量的函数），其初始值大概也不能解决PDE，因此残差很大。调用求解器后， x 应该在求解器公差范围内求解PDE。如果PDE是非线性的，那么线性代数的良好收敛解可能仍然不是PDE的良好解决方案。那就是扫地的目的。

我认为，由于xVelocityEq对应于线性系统，所以求解器的容差和残余误差将意味着同一件事。

跟踪两者都没有任何实用程序。除了用于求解之前的残差和用于终止求解的求解器公差之外，还可以使用不同的规范化，并且许多求解器文档都可能是粗略的。 FiPy使用| L x - b | _2作为残差。解算器可能会根据 b 的大小， L 的对角线或月球的相位进行归一化，所有这些都可能使得很难直接比较残差和容差

为什么第二个残差发生变化，而第一个残差保持不变？

通过允许1000次迭代而不是100次迭代，求解器能够驱动到更严格的公差，从而导致下一次扫描的残差较小。

为什么对于所有小于7.e-4的求解器公差，残差具有相同的值？又为什么对于求解器公差高于7.e-4的情况，这些残差是恒定的并且等于0.0007856742013190237？

可能是因为求解器发生故障，因此没有更改求解矢量的值。一些求解器不报告此情况。在其他情况下，我们应该更好地向您报告该事实。

即使更改了求解器，为什么我的第一个残差与以前一样？

残差不是求解器的属性。它是离散化方程组的一个属性，它近似于您的PDE。然后，这些线性代数方程式便成为求解器的输入。

在FiPy中使用扫描功能时的求解器公差和残差

1 个答案: