Question

我正在用Python模拟Sun-Earth-Rocket系统，并且到目前为止一直在使用Runge-Kutta 4th Order方法。效果很好，但是我现在尝试实现RKF45方法，以便在每次迭代时都能找到最佳的时间步长。

火箭感觉到的加速度是：

def acc(r):                                              
        return ((-6.6726e-11)*(mS)/abs(np.dot((r-rs),(r-rs)))**1.5)*(r-rs) +  ((-6.6726e-11)*(mE)/abs(np.dot((r-re),(r-re)))**1.5)*(r-re)

其中mS是太阳的质量，rS是太阳的位置（0,0），r是火箭的位置。

到目前为止，我一直在使用的RK4方程是：

    k1v = acc(r)                                            
    k1r = v
    k2v = acc(r + k1r*(a/2))
    k2r = v + (a/2) * k1v  
    k3v = acc(r + k2r*(a/2)) 
    k3r = v + k2v * (a/2)    
    k4v = acc(r + k3r*a)
    k4r = v + k3v * a 

    v = v + (a/6) * (k1v + 2*k2v + 2*k3v + k4v)              #update v
    r = r + (a/6) * (k1r + 2*k2r + 2*k3r + k4r)              #update r

我在线上找到了包含RKF45方程的本文，该方程的形式仅预期能求解一个ODE。由于必须同时求解r和v，因此我尝试像上面的RK4方程一样将它们分解。

http://maths.cnam.fr/IMG/pdf/RungeKuttaFehlbergProof.pdf

我的实现如下：

    k1v = a * acc(r)
    k1r = a * v
    k2v = a * acc(r + k1r/4)
    k2r = a * (v + k1v*a/4)
    k3v = a * acc(r + k1r*(3/32) + k2r*(9/32))
    k3r = a * (v + (3/8)*a*k2v)
    k4v = a * acc(r + (1932/2197)*k1r - (7200/2197)*k2r + (7296/2197)*k3r)
    k4r = a * (v + (12/13)*a*k3v)
    k5v = a * acc(r + (439/216)*k1r - 8*k2r + (3680/513)*k3r - (845/4104)*k4r)
    k5r = a * (v + a*k4v)
    k6v = a * acc(r - (8/27)*k1r + 2*k2r - (3544/2565)*k3r + (1859/4104)*k4r - (11/40)*k5r)
    k6r = a * (v + (a/2)*k5v)

    v = v + (16/135)*k1v + (6656/12825)*k3v + (28561/56430)*k4v - (9/50)*k5v + (2/55)*k6v
    r = r + (16/135)*k1r + (6656/12825)*k3r + (28561/56430)*k4r - (9/50)*k5r + (2/55)*k6r

您会注意到，在链接的论文中，有些方程式也给出了RK4解决方案。我注意到当上面显示的RK4方程为我的火箭提供的路径与本文中的RK4方程截然不同时，出现了一个问题。同样，RK5给出了更“错误”的路径。（当我说错了时，我的意思是我已经计算出想要的路径所需的发射速度。将这个发射速度输入新的RK4和RK5方程式时，我没有得到所需的路径）

我的问题是，这些方程式正确吗，它们是否已正确实施？我没有足够的经验来发现任何错误，因此我们将不胜感激。

在Python中为轨道力学实现Runge-Kutta五阶

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