我必须设计一个数据结构，以使我拥有一个大小为N的数组A，即A[1],A[1],A[2],...A[n]。我必须处理两种类型的查询（总共有M个查询）：
给出1<=N,M<=200000.
首先，我想到通过对每个存储桶进行排序来进行平方根分解，但是无法更新属于不同存储桶的部分范围。你能建议怎么做吗？
我想要一些O(N*Log(N))或O(N*SQRT(N))的复杂性。
答案 0 :(得分：0)
这看起来是一个非常典型的竞争性编程问题。我觉得我有一个解决方案，尽管它有点难看-也许您可以改进它。
我们将在解决方案的核心中使用平方根分解（如果您不熟悉此方法，请参见link）。对于每个块，我们将保留：元素的值保持不变（将其命名为A），整个块的加法数（一个整数，将其命名为extra）和{{1} }-按值对块索引进行排序（例如，如果块元素为[4、2、5]，则索引数组为[1、0、2]）。现在，让我们看一下这如何使我们解决问题以及复杂性如何。
对于每个IND块，我们都必须对其进行排序（每个块sqrt(N)），以获得初始索引数组，从而导致sqrt(N) * log(sqrt(N))的初始化复杂度。
继续进行常规的sqrt分解更新。对于完全在范围内的每个块，我们将增加sqrt(N) * sqrt(N) * log(sqrt(N)) = N * log(N)计数器。至关重要的观察是元素的相对顺序不会改变，因此我们在这里的工作已经完成。对于部分在更新范围内的块，我们执行以下操作：通过将适当的元素增加1来更新extra，并通过排序来重新生成A数组。注意，最多有两个部分更新块。 IND中“完整”块更新的总复杂度，其中有O(1)个。部分更新为sqrt(N)，因此更新总复杂度为sqrt(N) * log(sqrt(N)) = sqrt(N) * log(N)。有M个查询，因此最糟糕的是这些更新将贡献sqrt(N) * log(N)。
让我们弄清楚如何找到数组中小于某个值M * sqrt(N) * log(N)的元素数。为此，对于每个块，我们将对L数组进行二进制搜索。当我们从该数组获得某个索引IND时，要使用的实际值为idx，其中A[idx] + extra和A来自该块。此过程使我们能够在每个块中获取大于extra的元素数量。然后，我们只对每个块的结果求和。要处理一个块，我们必须在二进制搜索上花费L，并且有log(sqrt(N)) = log(N)个块，从而导致sqrt(N)的复杂性。
要获得第K个最小元素，我们将对可能的答案（竞争编程中的通用技术）进行另一次二进制搜索，我们将在最小和最大可能答案之间进行二进制搜索（例如，最小元素和最大元素加sqrt(N) * log(N)）。让我们将此范围表示为M。在每一步中，我们检查比当前的猜测少多少个元素，当我们找到第K个最小的元素时，我们将得到答案。让我知道您是否需要详细说明这一步骤。
最终复杂度为C，并且可以有M个查询，使其成为log(C) * sqrt(N) * log(N)。如果初始数组全为零或值在M * log(C) * sqrt(N) * log(N)至0范围内，则该值为M。或者，您可以选择将M * log(M) * sqrt(N) * log(N)视为常量（不太正确）。
我很确定C之一可以被剃掉，但这留给读者作为练习：）