如何解决solveODE中的“ dt <= dtmin。正在中止”错误

Question

我正在尝试模拟ODE系统（Tilman，1994年，图3 B.Ecology，第75卷，No1，pp-2-16），但是Julia集成方法未能给出解决方案。

错误是dt <= dtmin。正在中止。

using DifferentialEquations
TFour = @ode_def TilmanFour begin
dp1 = c1*p1*(1-p1) - m*p1
dp2 = c2*p2*(1-p1-p2) -m*p2 -c1*p1*p2
dp3 = c3*p3*(1-p1-p2-p3) -m*p3 -c1*p1*p2 -c2*p2*p3
dp4 = c4*p4*(1-p1-p2-p3-p4) -m*p4 -c1*p1*p2 -c2*p2*p3 -c3*p3*p4 
end c1 c2 c3 c4 m

u0 = [0.05,0.05,0.05,0.05]
p = (0.333,3.700,41.150,457.200,0.100)
tspan = (0.0,300.0)
prob = ODEProblem(TFour,u0,tspan,p)
sol = solve(prob,alg_hints=[:stiff])

Answer 1

我认为您看错了方程式。 paper中的最后一项是

sum(c[j]*p[j]*p[i] for j<i) 

请注意，dp[i]公式中的每个项都有一个因数p[i]。

因此您的方程式应为

dp1 = p1 * (c1*(1-p1) - m)
dp2 = p2 * (c2*(1-p1-p2) - m - c1*p1)
dp3 = p3 * (c3*(1-p1-p2-p3) - m - c1*p1 -c2*p2)
dp4 = p4 * (c4*(1-p1-p2-p3-p4) - m - c1*p1 - c2*p2 - c3*p3)

在此我也明确指出dpk是pk的倍数。这是必要的，因为它可以确保动态保持在正变量的八分之一内。

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使用python，该图看起来像paper

def p_ode(p,c,m):
    return [ p[i]*(c[i]*(1-sum(p[j] for j in range(i+1))) - m[i] - sum(c[j]*p[j] for j in range(i))) for i in range(len(p)) ]

c = [0.333,3.700,41.150,457.200]; m=4*[0.100]
u0 = [0.05,0.05,0.05,0.05]
t = np.linspace(0,60,601)

p = odeint(lambda u,t: p_ode(u,c,m), u0, t)
for k in range(4): plt.plot(t,p[:,k], label='$p_%d$'%(k+1));
plt.grid(); plt.legend(); plt.show()