在Web应用程序中，我面临以下问题：
一种（ASP.NET Core）Web API方法重定向到请求中带有身份验证cookie的网站。 Cookie的到期日设置为将来的60分钟。然后，网站在调用其他API方法进行身份验证时会传递此cookie。
问题是：如果网站在60分钟内在浏览器中关闭，则浏览器不会删除cookie。下次重定向API方法再次重定向到网站（请求中带有新的身份验证cookie）时，网站在调用它们时不会将新的cookie发送给其他API方法，而是将旧的过期cookie发送给其他API方法。
我该如何解决？我可以强制浏览器使用新发送的cookie代替旧的cookie吗？