Question

我想创建一个正交的NxN正方形矩阵，约束条件是第一列是k * ones（N，1）的列向量，其中k是选择时的常数。有什么程序吗？

即

A= [k * *;k * *;k * *]

是一个3x3矩阵，其中第一列是向量k * ones（3,1），而另两个向量必须以矩阵正交的方式创建

Answer 1

也许这应该发布在Math.StackEchange上，如果您需要适当的理论说明，可以在其中正确键入方程式。但是如果只想要代码...

首先，如果N是您的矩阵的维数，这约束的值k为：

k=sqrt(1/N);
A(1,:) = k*ones(1,N);

然后，可以使用以下内容构造第二行：

A(2,:) = sqrt(0.5)*[1,-1,zeros(1,N-2)];

这将创建一个与第一个正交的简单向量。

第三行可以用以下公式计算：

aux = [1,1,-2,zeros(1,N-3)];
A(3,:) = aux/norm(aux);

第四个：

aux = [1,1,1,-3,zeros(1,N-4)];
A(4,:) = aux/norm(aux);

以此类推。

简而言之：

A=zeros(N);
k=sqrt(1/N);
A(1,:) = k*ones(1,N);
for i=2:N
    aux = [ones(1,i-1),-(i-1),zeros(1,N-i)];
    A(i,:) = aux/norm(aux);
end

Answer 2

或者：

kk = k*ones(3,1); % fixed first column (could be anything)
X = [kk, null(kk')']

为您提供具有相互正交的列的方阵，无论向量kk是什么。仅当norm(k)==1时（它在您的示例中暗示k=1/sqrt(3)，正如其他人所指出的那样），它才是正交矩阵。请注意，第一种情况并不意味着其行是正交的，而第二种情况则是这样。

Answer 3

对不起，我不能引用MATLAB代码，但是我敢肯定这将很容易编写代码。

您想要的是Householder reflector 这些是对称的反正态矩阵（它们的逆也是如此）。给定向量v，您可以找到反射器H，从而

H*v = a*e1

其中a是+ = v的长度，e1是（1,0，..）'

我想MATLAB对此有一个例程。

鉴于H的性质，这意味着H的第一列与v平行，而其他列与v相互正交。

因此，如果适当地缩放H的第一列（长度为1），就可以得到所需的矩阵。