如何在短时间内计算网格图的树数？

Question

假设（L + 1）^ 2个节点位于L x L网格中。节点与最近的邻居随机链接（因此节点的度数为0、1、2、3或4）。当然，该图通常不会连接，并且说您知道初始状态下已连接组件的数量。

this issue here（图1：初始状态示例）

现在您选择两个相邻的节点，并且

• 如果它们已链接，则切掉边缘。
• 如果未链接它们，则将它们链接到新的边缘。

enter image description here（图2：操作示例）

您多次重复此剪切或链接操作。

然后，每次执行该操作时，如何在短时间内知道连接的组件数（例如O（log L ^ 2）或O（L））？如果您维护一个（L + 1）^ 2长度的数组，该数组的元素表示其所属树的索引，则很容易计算O（L ^ 2）中的数字。另外，您可以使用UnionFind算法，但是由于它无法解除链接节点，因此经常必须以O（L ^ 2 * log L ^ 2）重构森林。

有人有想法吗？似乎“链接/剪切树”算法是合适的，但可能无法在此问题中使用（例如，“链接/剪切树”的cut(v)函数仅接收一个参数，其中v是节点的索引）