Question

我正在实现GF（8）乘法。基本多项式为x ^ 3 + x + 1。我知道一些基础知识：如果乘法溢出，我可以将其与原始多项式进行异或运算，并将其带入有限域的范围。

但是，当溢出发生一位以上时，就会发生故障。例如： 正确的结果：二进制结果12（1001）中的alpha ^ 3（011）* alpha ^ 2（100）。乘积溢出，因此使用原始多项式进行XOR运算得出正确的值，即alpha ^ 5（111）。 不正确的结果：二进制结果21（10101）中的alpha ^ 5（111）* alpha ^ 3（011）。此处结果溢出两位，并且对原始多项式进行XOR运算不正确结果。

我想念什么？

Answer 1

GF乘法是多项式乘法，因此没有进位。因此111 * 011 = 1001，而1001模1011为010。但是，请考虑情况100 * 100 =10000。在这种情况下，您需要执行两个“除法”步骤（类似于使用低级二进制数学计算CRC，而是使用XOR减去）。

          10
     -------
1011 | 10000
       1011
       ----
         110
         000
         ---
         110

所以100 * 100 mod 1011 = 110。

您可以创建一个反日志表和一个日志表。对于基于x ^ 3 + x + 1的GF（8）= GF（2 ^ 3）字段，所有7个非零数字都是1x + 0（十六进制2）的幂：

  0   1   2   3   4   5   6    antilog table
001 010 100 011 110 111 101 

001 010 011 100 101 110 111    log table
  0   1   3   2   6   4   5

使用表，a * b = alog（（log（a）+ log（b））％7）。 100 * 100 = alog（（log（100）+ log（100））％7）= alog（（2 + 2）＆7 = alog（4）= 110. 110 * 111 = alog（（log（110）+ log （111））％7）= alog（（4 + 5）％7）= alog（2）= 100。

您可以通过将Antilog表加倍来消除对％7的需要，日志表将保持不变：

  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  antilog table
001 010 100 011 110 111 101 001 010 100 011 110 111 101

a * b = alog（log（a）+ log（b））。同样适用于除法：a / b = alog（7 + log（a）-log（b））。

如何将乘法值保持在有限域范围内？我正在实现GF（8）乘法

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