四元数的经度/纬度

Question

我有一个经度和纬度，并希望将其转换为四元数，并想知道我该怎么做？我想用这个，因为我有一个应用程序，它将地球投射到球体上，我想从一个位置旋转到另一个位置。

最佳！

Answer 1

有一种方法可以在不使用矩阵或向量的情况下实现这一点，类似于this numpy implementation。我们可以将经度/纬度视为两个四元数旋转组合在一起。

让我们使用Z-up右手坐标系。我们将经度φ和纬度θ称为，并将由两者表示的点称为（φ，θ）。对于可视化，红色轴对应于X，绿色对应Y，蓝色对应Z.

我们希望找到表示旋转的四元数，从（0,0），红色，到（ a ， b ），绿色：

我们可以将此旋转表示为纵向旋转的第一个组合，然后是纬度旋转的组合，如下所示：

首先，我们沿着Z轴旋转 a ，这会转换X轴和Y轴。然后，我们沿着新的局部Y轴旋转 b 。因此，我们知道这种旋转的两组轴/角度信息。

幸运的是，从轴/角度到四元数的转换是已知的。给定角度α和轴向量ω，得到的四元数为：

(cos(α/2), ω.x*sin(α/2), ω.y*sin(α/2), ω.z*sin(α/2))

所以第一次旋转由沿着世界（0,0,1）轴的 a 度的旋转表示，给我们：

q1 = (cos(a/2), 0, 0, sin(a/2))

第二次旋转由沿着变换/局部（0,1,0）轴的 b 度的旋转表示，给我们：

q2 = (cos(b/2), 0, sin(b/2), 0)

我们可以将这两个四元数相乘，得到一个单个四元数，表示从（0,0）到（ a ， b）的复合旋转 ）。四元数乘法的公式有点冗长，但您可以找到它here。结果：

q2*q1 = (cos(a/2)cos(b/2), -sin(a/2)sin(b/2), cos(a/2)sin(b/2), sin(a/2)cos(b/2))

这并不意味着很多，但我们可以确认这个公式与之前提到的numpy实现相同。

JCooper提到了一个很好的观点，即在这种情况下，沿X轴仍然存在一个自由度。如果θ保持在±90度范围内，我们可以想象Z轴总是指向上方。这具有约束X轴旋转的效果，并且希望是你想要的。

希望这有帮助！

编辑：请注意，这与使用2个欧拉角度基本相同。因此，要反转此转换，您可以使用任何四元数进行欧拉角度转换，前提是旋转顺序相同。

Answer 2

也许你可以看一下boost C ++库如何实现它。 （或者甚至可能使用它）http://www.boost.org/doc/libs/1_46_0/libs/math/doc/quaternion/html/boost_quaternions/quaternions/create.html

经度和纬度非常类似于球面坐标中的方位角（θ - [0,2 * PI]）和倾角（rho？[0，PI]）角度（当然，曲面的半径r = 1）。 Boost在我发布的链接中有一个球形到四元数的函数。

Answer 3

纬度和经度不足以描述四元数。纬度和经度可以描述3d球体表面上的点。让我们说这是正常点直接通过屏幕的点。你还有一定程度的自由。球体可以围绕lat-lon指定的点的法向量旋转。如果需要表示球体方向的四元数，则需要完全指定旋转。

所以，让我们说你想保持球体的北极指向上方。如果北极与对象的 + z 轴对齐，屏幕上的“向上”与世界的 + y 轴对齐，然后您想要旋转球体所以球体表面上的 R 点直接指向屏幕（如你在评论中提到的那样，使用lat-lon到euclidean找到 R ），然后按如下方式创建旋转矩阵。

您希望对象的 R 与世界的 + z （假设类似OpenGL的视图坐标系统）对齐，并且您希望对象的 + z 与世界的 + y （尽可能接近）保持一致。我们需要第三轴;所以我们将 R 标准化，然后找到： P = crossP（[0 0 1] ^ T，R）。我们将 P 标准化，然后在第二轴上强制正交： Q = crossP（R，P）。最后，规范化 Q 。现在我们有3个正交向量 P，Q，R ，我们希望分别与世界的 x，y，z 对齐。

我假设 P，Q，和 R 是列向量;所以为了创建转换矩阵，我们只需将它们粘在一起： M = [P Q R] 。现在 M 是将世界坐标中的点转换为对象坐标的矩阵。为了反方向，我们找到 M 的倒数。幸运的是，当矩阵的列是正交的时，反转与转置相同。所以我们得到：

             [ P^T ]
M^-1 = M^T = [ Q^T ]
             [ R^T ]

由此，如果需要，您可以使用matrix to quaternion conversion找到四元数。然后，您可以使用slerp或您选择的方法在四元数之间进行插值。