Question

我想实现条件期望运算符。我将使用大写epsilon E来表示运算符。我期望至少以下输入（下划线表示下标）

E_2[a]
E_2[x_1]
E_2[x_1 + y_5]
E_1[3 a + b - 4 + 2 x_]
E_6[x_5 x_7]
E_t[x_t]
E_t[3 x_{t - 1} x_{t + 2}]

生成以下输出

a
x_1
E_2[y_5] + x_1
-4 + 3 a + b + 2 E_2[x_5]
E_6[x_7] x_5
x_t
3 E_t[x_{t + 2}] x_{t - 1}

上面的示例并不是我需要生成的唯一输入/输出对，而是作为我喜欢的语法的测试和说明。

我到目前为止。 ce表示条件期望，其第三个组成部分是“期望传播”是否已完成（否则无限递归发生在产品规则中），mv代表可衡量变量。

Notation[Subscript[E, t_][y_]  ==> ce[y_, t_, False]];
Notation[Subscript[E, t_][y_] <==  ce[y_, t_, _]];

Notation[Subscript[x_, t_] <==> mv[x_, t_]];

(* Atomic Elements and Measurable Variables *)
ce[x_, t_, _] := x /; (AtomQ[x] || Head[x] === mv && 0 <= t - x[[2]]);

(* Distribution over Addition *)
ce[x_ + y__, t_, s_] := ce[x, t, s] + Plus @@ (ce[#, t, s] & /@ {y});

(* Distribution over Product *)
ce[x__Times, t_, False] := Module[{v, m, n},

   (* All Variables in the Product *)
   v = List @@ x;

   (* Measurable Among Them *)
   m = Select[v, AtomQ[#] || Head[#] === mv && 0 <= t - #[[2]] &];

   (* The Rest is not Measurable *)
   n = Complement[v, m];

   Times[Times @@ m, ce[Times @@ n, t, True]]

];

Answer 1

我想我可以让你接近你想要的东西;不过，我不打算这么做，因为它可能很棘手，但我会指出你正确的方向。

首先，使用下标来表示不同的变量在Mathematica中很棘手，因为它将E ₀解释为Subscript[E,0]和E并保留Subscript。（正如Sjoerd所说，E = 2.718...。）要让Mathematica将<anything> _<something>识别为一个独特的符号，您需要通过{{1}加载Notations包}}。然后使用Notations Palette，<<Notations` Symbolize。（请注意，如果不使用调色板正确设置代码，请不要尝试这样做，否则可能无效。）

根据需要对所有变量进行符号化后，需要设置相应的转换规则。前两个是最简单的，输入

Subscript[E,0]

规则3和4：

E_0[a] = a
E_0[x_0] = x_0

这些是容易的，接下来的三个需要不同类型的关联，Set和SetDelayed都不会在这里工作，因为被评估的外部符号是E_0[x_Plus]:=Distribute[E_0[x]] E_0[x_Times]:=Distribute[E_0[x], Times]，你可以不要将新规则与Protected关联起来。但是，有两种方法可以将这些表达式与内部符号相关联：UpSet (^=)（或UpSetDelayed (^:=)）或TagSet (/:)。我更喜欢使用Dt，因为它更明确，但要么应该有效。

规则5和6：

TagSet

这也会让你接近规则7，但是在规则3和规则4的同时添加它会导致递归限制错误，因为它来回反弹并试图弄清楚如何评估它。相反，用

替换规则3和4

E_0 /: Dt[ E_0[ x_ ], y_ ] := E_0[ Dt[x,y] ]

这对递归有明确的限制。就规则7而言，你得到了这个

E_0[x_ + y__]:= E_0[x] + Plus@@( E_0 /@ {y} )
E_0[x_ y__ ] := E_0[x] Times@@( E_0 /@ {y} )

这是E_0[D[x_1[t_1,q_0], t_1]] E_0[Dt[t_1, y_0]] + E_0[D[x_1[t_1,q_0], q_0]] E_0[Dt[q_0,y]]规则和规则4的结果。要让Dt不要分发E_0和D，请将其作为练习。

修改：我想就您提供的解决方案代码发表一些意见。首先，巧妙地使用布尔来停止递归，它适用于您的Dt。不过，我建议对您的产品分发进行一些更改。首先，我使用Notation而不是条件（x__Times），因为它更容易阅读，我相信（但尚未测试）它可能更快，即处理它的开销更少。其次，将/; Head[x] == Times替换为Table，其中List @@ x，称为Apply，将@@替换为Times，再次更容易阅读和写作。对于List的定义，请考虑使用Complement;我不知道它是否更快，但我更喜欢为这类事物设置理论结构。最后，除非您需要变量为reevaluated whenever it is used，否则请勿使用SetDelayed（n），请使用:=（Set）。通过使用=，m被评估两次，v被评估3次！

优点和缺点：这样做的主要原因是易用性和可读性。通过定义自己的对象及其行为，您可以为自己提供很大的灵活性并简化代码。仅此一点就值得。但是，我过去一直很难做到这一点，这样的设置可能是不安全的，我建议进行彻底的测试。其次，通过添加这些额外的层，您可能会减慢代码速度，因此如果要在关键任务应用程序中使用它，请务必小心。此外，每次使用时都必须包含:=，调色板在某些时候会变得很烦人。虽然可以通过在加载Notation包之前设置Notation来处理调色板。

Mathematica中的符号条件期望

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