如何以双射方式对称化[0,1] ^ d中的数据集

Question

假设我有一个[0,1] ^ d的数据集，我想在“对称”数据F的重新划分函数应包含以下断言的意义上进行暗示：

例如，如果d = 2，则重新划分函数应在第一个bissectrix周围对称：

应从数据构建转换。如果要使用某些（三变量）数据，可以运行以下R代码（必须首先安装copula软件包）：

library(copula)
source(system.file("Rsource", "AC-Liouville.R", package="copula"))
U <- rLiouville(n=1000, alpha=c(1, 10,20), theta=0.6, Rdist="Gamma")
pairs(U)

此外，我希望此变换是双射的，以便可以嵌入拟合。

主要问题如下：我有一个适合对称数据集的算法，我想通过这种转换将其扩展到非对称数据集，以至于我无法正确编写...

想法？谢谢：）

Answer 1

我们可以通过对参数的所有排列取平均值来对称化一个函数。尽管该问题要求进行双射变换，但由于投影会丢失信息，因此无法进行双射变换。

此处FunSym输入标量值函数Fun，并输出对称函数。

library(combinat)

FunSym <- function(Fun) {
  function(...) mean(unlist(permn(list(...), do.call, what = Fun)))
}

Fun <- function(x, y) x - y  # test function
FunS <- FunSym(Fun)  # FunS is Fun symmetrized
FunS(1,2) # run FunS for particular arguments
## [1] 0

如果我们知道Fun有2个参数，那么我们可以编写更简单的代码：

FunSym2 <- function(Fun) {
  function(x, y) (Fun(x,y) + Fun(y,x))/2
}

FunS2 <- FunSym2(Fun)  # FunS is Fun symmetrized
FunS2(1,2) # run FunS for particular arguments
## [1] 0

如果Fun是向量值，我们可以像这样修改FunSym：

FunSymV <- function(Fun) {
  function(...) rowMeans(simplify2array(permn(list(...), do.call, what = Fun)))
}

# test
FunSymV(Fun)(1:3, 4:6)
## [1] 0 0 0