Question

为（可能令人误解）标题和可能令人困惑的问题本身道歉，我在措辞上非常费劲，尤其是将其压缩为标题的一句话。我想使用python查找带有两个变量f(w, t, some_other_args)和w的函数t的根。真正的函数结构真的很长而且很复杂，您可以在本文的末尾找到它。重要的是它包含以下行：

k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))

这意味着w不能超过1，因为这将导致计算负数的平方根，这当然是不可能的。我有一些算法可以使用函数中的其他值来计算w和t的近似值，但是它们非常不准确。

因此，我尝试使用这些近似值作为起点，使用scipy.optimize.fsolve计算根（在尝试了我可以在线找到的每种寻根算法之后，我发现这是最适合我的函数的），看起来像这样：

solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))

对于大多数值，这都可以正常工作。但是，如果w太接近1，则总是会出现fsolve为w尝试大于1的值的情况，这反过来会引发ValueError （因为从数学上讲不可能计算负数的根）。这是一个打印出fsolve使用的值的示例，其中w应该在0.997左右：

w_approx: 0.9960090844989311
t_approx: 24.26777844720981
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.267778808827888, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.996009099340623
Values: t:16.319554685876746, w:1.0096680915775516
      solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))
    File "C:\Users\...\venv\lib\site-packages\scipy\optimize\minpack.py", line 148, in fsolve
      res = _root_hybr(func, x0, args, jac=fprime, **options)
    File "C:\Users\...\venv\lib\site-packages\scipy\optimize\minpack.py", line 227, in _root_hybr
      ml, mu, epsfcn, factor, diag)
    File "C:\Users\...\algorithm.py", line 9, in f
      k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))
ValueError: math domain error

那么，我怎么能告诉optimize.fsolve w不能大于1？或做这种事情的替代算法是什么（我知道brentq等等，但是所有这些算法都需要给 both 根指定一个间隔，我不想这样做）？

测试代码（此处需要注意的重要一点：即使在理论上func应该假设R和T来计算t和w，但我必须笨拙地使用它。这有点笨拙，但我只是不设法重写该函数，以使其接受T, R来计算t, w-对于我平庸的人来说有点太过分了数学专业知识；））：

import math as m
from scipy import optimize
import numpy as np


def func(t, w, r_1, r_2, r_3):

    k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))

    k23 = 2 * k / 3

    z1 = 1 / (1 + k23)
    z2 = 1 / (1 - k23)
    z3 = 3 * ((1 / 5 + r_1 - r_2 - 1 / 5 * r_1 * r_2) / (z1 - r_2 * z2)) * m.exp(t * (k - 1))
    z4 = -(z2 - r_2 * z1) / (z1 - r_2 * z2) * m.exp(2 * k * t)
    z5 = -(z1 - r_2 * z2) / (z2 - r_2 * z1)
    z6 = 3 * (1 - r_2 / 5) / (z2 - r_2 * z1)

    beta_t = r_3 / (z2 / z1 * m.exp(2 * k * t) + z5) * (z6 - 3 / (5 * z1) * m.exp(t * (k - 1)))
    alpha_t = beta_t * z5 - r_3 * z6

    beta_r = (z3 - r_1 / 5 / z2 * m.exp(-2 * t) * 3 - 3 / z2) / (z1 / z2 + z4)
    alpha_r = -z1 / z2 * beta_r - 3 / z2 - 3 / 5 * r_1 / z2 * m.exp(-2 * t)

    It_1 = 1 / 4 * w / (1 - 8 / 5 * w) * (alpha_t * z2 * m.exp(-k * t) + beta_t * z1 * m.exp(k * t) + 3 * r_3 * m.exp(-t))

    Ir_1 = (1 / 4 * w / (1 - 8 / 5 * w)) * (z1 * alpha_r + z2 * beta_r + 3 / 5 + 3 * r_1 * m.exp(-2 * t))

    T = It_1 + m.exp(-t) * r_3
    R = Ir_1 + m.exp(-2 * t) * r_1

    return [T, R]


def calc_1(t, w, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t_begin = float(t[0])
    T_new, R_new = func(t_begin, w, r_1, r_2, r_3)
    a = abs(-1 + T_new/T)
    b = abs(-1 + R_new/R)
    return np.array([a, b])


def calc_2(x, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t = x[0]
    w = x[1]
    T_new, R_new = func(t, w, r_1, r_2, r_3)
    a = abs(T - T_new)
    b = abs(R - R_new)
    return np.array([a, b])


def approximate_w(R):
    k = (1 - R) / (R + 2 / 3)
    w_approx = (1 - ((2 / 3 * k) ** 2)) / (1 - ((1 / 3 * k) ** 2))
    return w_approx


def approximate_t(w, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t = optimize.root(calc_1, x0=np.array([10, 0]), args=(w, T, R, r_1, r_2, r_3))
    return t.x[0]


def solve(T, R, r_1, r_2, r_3):
    w_x = approximate_w(R)
    t_x = approximate_t(w_x, T, R, r_1, r_2, r_3)
    sol = optimize.fsolve(calc_2, x0=np.array([t_x, w_x]), args=(T, R, r_1, r_2, r_3))
    return sol


# Values for testing:
T = 0.09986490557943692
R = 0.8918728343037964
r_1 = 0
r_2 = 0
r_3 = 1

print(solve(T, R, r_1, r_2, r_3))

Answer 1

logistic输入要约束的参数怎么办？我的意思是，您可以在f内

import numpy as np

def f(free_w, ...):
    w = 1/(1 + np.exp(-free_w)) # w will always lie between 0 and 1
    ...
    return zeros

然后，您只需要对free_w的解决方案值应用相同的逻辑变换即可得到w *。见

solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))
free_w   = solution[0]
w        = 1/(1 + np.exp(-free_w))

Answer 2

在优化功能之前，您应该尝试明确定义函数，这样可以更轻松地检查域。

基本上，您具有T和R的功能。这对我有用：

def func_to_solve(TR_vector, r_1, r_2, r_3):
    T, R = TR_vector   # what you are trying to find
    w_x = approximate_w(R)
    t_x = approximate_t(w_x, T, R, r_1, r_2, r_3)
    return (calc_2([t_x, w_x], T, R, r_1, r_2, r_3))

def solve(TR, r_1, r_2, r_3):
    sol = optimize.fsolve(func_to_solve, x0=TR, args=(r_1, r_2, r_3))
    return sol

另外，将m.exp替换为np.exp

Answer 3

您报告的错误发生，因为fsolve不能处理w到k转换中的隐式限制。可以通过反转这种依赖性来根本解决，而使func依赖于t和k。

def w2k(w): return 3 * m.sqrt((1.0 - w) / (4.0 - w))
    #k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))
    # (k/3)**2 * (4-w)= 1-w 
def k2w(k): return 4 - 3/(1-(k/3)**2)

def func(t, k, r_1, r_2, r_3):
    w = k2w(k)
    print "t=%20.15f, k=%20.15f, w=%20.15f"%(t,k,w)
    ...

然后从calc1和calc2中的函数值中删除绝对值。这只会使您的解决方案成为不可微分的点，这对任何寻根算法都是不利的。改变符号和平滑根是牛顿式方法的好方法。

def calc_2(x, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t = x[0]
    k = x[1]
    T_new, R_new = func(t, k, r_1, r_2, r_3)
    a = T - T_new
    b = R - R_new
    return np.array([a, b])

通过求解方程t来找到w的值，这没有多大意义。 k已修复，它只会使计算量增加一倍。

def approximate_k(R):
    k = (1 - R) / (R + 2 / 3)
    return k

def solve(T, R, r_1, r_2, r_3):
    k_x = approximate_k(R)
    t_x = 10
    sol = optimize.fsolve(calc_2, x0=np.array([t_x, k_x]), args=(T, R, r_1, r_2, r_3))
    return sol

t,k = solve(T, R, r_1, r_2, r_3)
print "t=%20.15f, k=%20.15f, w=%20.15f"%(t, k, k2w(k))

通过这些修改，解决方案

t=  14.860121342410327, k=   0.026653140486605, w=   0.999763184675043

在15个功能评估中找到

。

多元函数的根的根发现算法中两个根之一的括号

3 个答案: