Question

给定一个仅由加减运算符和数字组成的二进制算术表达式树，如何尽可能地平衡树？任务是在不评估表达式的情况下平衡树，即节点数应保持不变。

示例：

      +                           +
    /   \                      /     \
   +     15      >>>>>>       -       +
 /   \                       / \     / \
5     -                     6   4   5   15
    /   \
   6     4

加法是可交换的和关联的，并且可以实现平衡。可交换性允许交换连续“ +”节点的子节点。关联性允许旋转。在上面的示例中，执行的转换可以视为

在根的'+'上右旋转。
交换“ 5”和“-”节点。

我正在考虑进行顺序遍历并首先平衡所有子树。我将尝试通过尝试所有可能的节点排列（其中只有12个）来平衡具有两个连续的“ +”节点的任何子树，以希望减少树的总高度。此方法应在任何步骤将树的高度最多减少1。但是，我无法确定是否总是会给出最小高度的树，尤其是当有两个以上连续的“ +”节点时。

另一种方法可能是将表达式树读入数组，然后用变量替换任何'-'子树。然后，我们由DP来确定括号的最佳位置。这必须自下而上完成，以便DP算法考虑任何'-'子树时都已经平衡。但是，我担心，因为可能有（n + 1）个！排列节点和括号的方法。当我在寻找O（n）算法时。

这是一个已知问题，是否有特定的解决方法？

Answer 1

冒着做出类似“评估”之类的风险的风险（尽管我认为这不是），我将执行以下操作：

通过将否定标记传播到根，将整个树更改为加法节点。一种简单的方法是为每个叶节点添加一个“颜色”。节点的颜色可以在树行走期间直接计算。在遍历期间，您跟踪从-节点获取的右手链接的数量（或奇偶校验，因为这是我们感兴趣的唯一部分）；当到达叶子时，如果奇偶校验为奇偶，则将其着色为绿色，如果奇偶校验为奇数，则为红色。（否定了红叶。）在遍历过程中，-节点更改为 + 。
```
      +                          +
    /   \                      /   \
   +    15       >>>>>>       +    15
 /   \                      /   \
5     -                     5    +
    /   \                      /   \
   6     4                    6    -4
```

现在，通过在叶的顶部构造最小深度的二叉树来最小化树的深度，按顺序对叶进行排序，而不考虑先前的树结构：

      +                            +
    /   \                      /       \
   +    15       >>>>>>       +         +
 /   \                      /   \     /   \
5     +                     5    6   -4   15
    /   \
   6    -4

将颜色转回到-节点。简单的变换是没有红色子代的节点（只需删除颜色）和只有一个红色子代和一个绿色子代的节点。后面的这些节点变成-节点；如果红色的孩子在左边，那么这些孩子也将倒过来。

棘手的情况是节点的所有子节点都是红色的。在这种情况下，向上移动树，直到找到具有绿色后代的父代。您找到的节点必须有两个子节点（否则，它的唯一子节点必须有一个绿色后代），其中一个孩子恰好具有绿色后代。然后，将该节点更改为-，如果右手后代的子代为绿色，则反转其子代，并为右手子代的所有（可能是新的）子代重新涂上绿色。
```
        +                          +
    /      \                   /       \
   +        +    >>>>>>       +         -
 /   \     /   \            /   \     /   \
5     6   -4   15          5     6   15    4
```
也许值得指出的是，根节点的左侧有一个绿色后代，因为第一个叶节点是绿色的。这足以证明上述算法涵盖了所有情况。

用+，-运算符平衡算术表达式树

1 个答案: