计算圆和三角形的交点区域？

Question

如何计算三角形（指定为三（X，Y）对）和圆（X，Y，R）之间的交叉区域？我做了一些搜索无济于事。这是为了工作，而不是学校。 ：）

在C＃中看起来像这样：

struct { PointF vert[3]; } Triangle;
struct { PointF center; float radius; } Circle;

// returns the area of intersection, e.g.:
// if the circle contains the triangle, return area of triangle
// if the triangle contains the circle, return area of circle
// if partial intersection, figure that out
// if no intersection, return 0
double AreaOfIntersection(Triangle t, Circle c)
{
 ...
}

Answer 1

Answer 2

如果你想要一个精确的解决方案（或至少与使用浮点运算一样精确），那么这将涉及大量的工作，因为有很多情况需要考虑。

我计算了九种不同的情况（在下图中按圆圈内三角形的顶点数量分类，以及圆圈中相交或包含的三角形边缘数量）：

（然而，众所周知，这种几何情况的枚举是棘手的，如果我错过了一两个，它就不会让我感到惊讶！）

所以方法是：

1. 确定三角形的每个顶点是否在圆圈内。我假设你知道怎么做。

2. 确定三角形的每个边缘是否与圆相交。 （我写了一个方法here，或者看到任何计算几何图书。）你需要计算在步骤4中使用的一个或多个交点（如果有的话）。

3. 确定您拥有的九个案例中的哪一个。

4. 计算交叉口的面积。案例1,2和9很容易。在剩余的六个案例中，我绘制了虚线，以显示如何根据三角形的原始顶点以及在步骤2中计算的交叉点将交叉区域划分为三角形和circular segments。 / p>

这个算法会非常精巧并且容易出错，只会影响其中一个案例，因此请确保您的测试用例涵盖了所有9个案例（我建议也可以排列测试三角形的顶点）。特别注意三角形的一个顶点位于圆的边缘的情况。

如果你不需要精确的解决方案，那么光栅化数字并计算交叉点中的像素（正如其他几位受访者所建议的那样）似乎是一种更容易的代码处理方法，相应地也不容易出错。

Answer 3

我差不多一年半了，但我想也许人们会对我写的code here感兴趣，我认为这样做是正确的。查看靠近底部的功能IntersectionArea。一般的方法是挑选由圆圈限定的凸多边形，然后处理小圆形帽。

Answer 4

假设你说的是整数像素，而不是真实的，那么天真的实现就是遍历三角形的每个像素，并检查圆心的距离与半径之间的距离。

这不是一个可爱的公式，或者特别快，但它确实完成了工作。

Answer 5

尝试computational geometry

注意：这不是一个小问题，我希望它不是作业; - ）

Answer 6

如果您拥有GPU，可以使用this技术获取交叉点的像素数。

Answer 7

我认为你不应该将圆形近似为一组三角形，而不是用多边形逼近它的形状。 天真算法看起来像：

1. 将圆圈转换为具有所需顶点数的多边形。
2. 计算两个多边形（转换后的圆和三角形）的交集。
3. 计算该交点的平方。

您可以通过将第2步和第3步组合成单一功能来优化此算法。

阅读此链接：
Area of convex polygon
Intersection of convex polygons

Answer 8

由于你的形状是凸的，你可以使用蒙特卡罗面积估计。

在圆圈和三角形周围画一个方框。

在框中选择随机点，并计算圆圈中落下的数量，以及圆圈和三角形中落入的数量。

交点面积circle圆的面积*＃以圆圈表示，三角形/圆圈中的＃点

当估计区域在一定数量的回合中没有变化超过一定量时停止选择点，或者仅根据框的区域选择固定数量的点。除非你的一个形状面积很小，否则面积估计应该快速收敛。

注意：以下是确定点是否在三角形中的方式：Barycentric coordinates

Answer 9

您需要多少精确度？如果您可以使用更简单的形状来近似圆形，则可以简化问题。例如，将圆形建模为一组在中心相交的非常窄的三角形并不困难。

Answer 10

如果只有一个三角形的线段与圆相交，那么纯数学解决方案就不会太难。一旦知道两个交点何时出现，就可以使用距离公式来找到弦长。

根据these equations：

ϑ = 2 sin⁻¹(0.5 c / r)
A = 0.5 r² (ϑ - sin(ϑ))

其中c是弦长，r是半径，θ是通过中心的角度，A是面积。请注意，如果切掉一半以上的圆圈，此解决方案就会中断。

如果你只需要一个近似值，这可能是不值得的，因为它对实际的交叉点看起来有几个假设。

Answer 11

我的第一直觉是变换所有东西，使圆圈以原点为中心，将三角形转换为极坐标，并求解三角形与圆的交点（或包围）。我实际上并没有在纸上完成它，但这只是一种预感。